斉次方程式の自明でない解の算出方法

質問

斉次連立方程式（Ax=0）で独立な式が変数より少ない場合自明でない解がありますが
これを求めるにはどうしたらよいでしょうか

より正確に書くと変数がn個（x1,x2,...xn）あり独立な式がn-1個ある場合
1つだけ確定しない変数が出てきますが
これにx1^2+x2^2+...+xn^2=1のような条件を加えることで解を特定したいです

数値計算的な手法でもよいのですがどのようにしたら求めることができるのでしょうか

回答No.2

ask-it-aurora

書き方からするに線型方程式ですかね．もしそうならば，線型代数でやるようにGaussの消去法をすれば，あるひとつのパラメータで記述される一次元空間として解空間が定まります．あとはそのパラメータを決めれば解が決まります．

お礼

回答ありがとうございます。

とりあえず何らかの方法で解いてみて、不都合があった場合にほかの方法を考えてみようと思います。

回答No.1

noname#232123

変数が3個で説明します。
f(x, y, z)=0, g(x, y, z)=0.
f, gに関数関係がないとするとこれからたとえば、
x=u(z), y=v(z) と解き、これを第三の式に代入して、
u^2+v^2+z^2=1, (未知数はｚのみ)
を解けばよいことになります。
一般の場合も実際の計算は容易ではありませんが、考え方は同様です。
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ex) 簡単な例をひとつあげます。
2x+5y-3z=4, x+3z+4z=6 より、(x, y)=(-18+29z, 8-11z) を得、これをx^2+y^2+z^2=1 に代入してｚを求めます。

お礼

回答ありがとうございます。

変に難しく考えていたようです。
もっと素直に解いてみようと思います。