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質問

pを正の実数とする。関数
f(x)=∮［-1→x］｛p-log(1+|t|｝dt
について次の問に答えよ。ただし対数は自然対数とする。
(1)f(x)の値を求めよ。
(2)xy平面の曲線y=f(x)がx軸の正の部分と2点で交
わるようなpの値を求めよ

回答No.1

muturajcp

p>0
f(x)=∫_{-1～x}{p-log(1+|t|)}dt
f(x)=p∫_{-1～x}dt-∫_{-1～x}log(1+|t|)dt
f(x)=p(x+1)-∫_{-1～x}log(1+|t|)dt
x≦0のとき
f(x)=p(x+1)-∫_{-1～x}log(1+|t|)dt
f(x)=p(x+1)-∫_{-1～x}log(1-t)dt
f(x)=p(x+1)+[(1-t)log(1-t)+t]_{-1～x}
f(x)=p(x+1)+(1-x)log(1-x)+x+1-2log2
x>0のとき
f(x)=p(x+1)-∫_{-1～0}log(1+|t|)dt-∫_{0～x}log(1+|t|)dt
f(x)=p(x+1)-∫_{-1～0}log(1-t)dt-∫_{0～x}log(1+t)dt
f(x)=p(x+1)+[(1-t)log(1-t)+t]_{-1～0}-[(1+t)log(1+t)-t]_{0～x}
f(x)=p(x+1)+1-2log2+x-(1+x)log(1+x)
f(x)=p(x+1)+x+1-2log2-(1+x)log(1+x)
f(x)=(1+x){p+1-log(1+x)}-2log2

(2)
x>0のとき
f'(x)=p-log(1+x)
f"(x)=-1/(1+x)<0
p>0だからe^p>1だから
e^p-1>0
f'(e^p-1)=p-log(1+e^p-1)=0
0<x<e^p-1のとき
f'(x)=p-log(1+x)>0だからf(x)は増加
x>e^p-1のとき
f'(x)=p-log(1+x)<0だからf(x)は減少
だからx=e^p-1でf(x)は極大値
lim_{x→∞}f(x)=-∞で
xy平面の曲線y=f(x)がx軸の正の部分と2点で交わるから
f(e^p-1)=e^p-2log2>0
f(0)=p+1-2log2<0
となるから
p+1<2log2<e^p
p+1<log4<e^p
0.3266≒log(log4)<p<log4-1≒0.3863