整数の問題

質問

𝑁が自然数で，100000 ≤ 𝑁^2 ≤ 2500000のとき，𝑁^2の上３桁を取り出した数は，いくつあるか。ただし，1000000と1002001 のように，上３桁が同じ数の場合は，重複してかぞえない。

以上の問題です。
こういう問題はすごく苦手で、どうやって手をつければいいのかすらわかりません。
解き方をご存知の方がいらっしゃいましたら、ご教授お願いしてもいいですか。お願いします！

回答No.7

島崎 崇（@tadopika）

解き方が分かりました。しかし、この問題は、発想力を要する難問です。数学オリンピックにでも挑戦するのでなければ、解けなくても気にすることはありません。

100,000<=N^2<=2,500,000 より、
N=317, 318, ..., 1581

N^2が6桁、即ち、100,000<=N^2<=999,999 となるのは、317<=N<=999 のときである。
N^2が7桁、即ち、1,000,000<=N^2<=2,500,000 となるのは、1000<=N<=1581 のときである。

(i)
N^2が6桁で、N^2と(N+1)^2の差が1000以下のとき、N^2の上3桁は、重複又は連続した数になる。
(N+1)^2-N^2<=1000 より、317<=N<=499
このとき、N^2は、100,489, 101,124, ..., 249,001 となる。
これらの上3桁は、100~249の間に150通り存在する。

(ii)
N^2が6桁で、500<=N<=999 のとき、(N+1)^2-N^2>1000 となるから、N^2の上3桁は重複しない。
500<=N<=999 の500個のNに対して、N^2は、250,000, ..., 998,001 となる。
N^2の上3桁は、250~998の間に500通り存在する。

(iii)
N^2が7桁のとき、即ち、1000<=N<=1581 のとき、N^2は、1,000,000, 1,002,001, ..., 2,499,561 となる。
このとき、常に、(N+1)^2-N^2<=10000 であるから、N^2の上3桁は、重複又は連続した数となり、100~249の間に150通り存在する。

(i)と(iii)の重複に留意すると、N^2の上3桁は全部で、150+500=650通り存在する。

回答No.6

島崎 崇（@tadopika）

何だか奇妙な問題ですね。
Nが自然数で、"N^2"の上3桁が何種類あるか、ですか....
これをまともに計算するうまい方法があるのでしょうか?
私は、Excelを用いて計算してみました。

N^2の上3桁は、100~999の900通りが最大です。
N=317, 318, ..., 1581 として、N^2の上3桁を求めていくと、欠ける個所が幾つか出てきます。
最初の欠番は、282です。この前後のNは、
N=531 のとき、N^2=281,961
N=532 のとき、N^2=283,024 となっています。
欠番はその後、296, 307, 317, ...と続きます。
最後、990以降は、991, 993, 995, 997, 999 が欠けています。

Excelでカウントすると、N^2の上3桁は650種類という結果になりました。

回答No.5

maiko0318

間違ってますね。m(__)m
10万の平方根は317
250万の平方根は1581

ので、317から999と
100から158までですかね

回答No.4

asuncion

一部の回答者に混乱があるようですが、
N^2
の下限は
十万
ですか？
百万
ですか？

回答No.3

f272

> こういう問題はすごく苦手で、どうやって手をつければいいのかすらわかりません。

「100000 ≤ 𝑁^2 ≤ 2500000のとき」と言われたら𝑁に当てはまる数は何か考える。それが基本です。
その後は，ひたすら数えると答えが出る。
途中でいやになったら，楽をして計算できる方法を考える。

回答No.2

maiko0318

100000と2500000の平方根を取ればいいのでは？

1000<=x<=1531なので、100から153まで154個

回答No.1

dolittle0

不等式の平方根を計算すればNの範囲がわかる。

それから重複を除く。

では、いかがでしょうか。