１～６０までの積について、４で何回割り切れる？

質問

1×2×3×4×・・・・・・・×60
の積について

（１）４で何回割り切ることができますか？

（２）２４で何回割り切ることができますか？

答えは（１）２８回（２）１８回ですが、どうしてかわかりません。

教えてください。よろしくお願いいたします。

回答No.2

noname#227653 · ベストアンサー

（１）
１から60までの数を全部素因数分解したと考えてみましょう（実際にやることはありません。それは大変すぎです）。そうすると、
１×２×３×（２×２）×５×（２×３）×７×（２×２×２）×（３×３）×（２×５）×11×…
と続いていきますね。
この中に２が何個あるかを計算して出しましょう。
まず、２，４，６，８など、２の倍数の中には必ず２が１個は入っていますね。２の倍数は60÷２で30個あります。だから２も30個あるはずです。
でも、４は２×２ですから、４の倍数の中には２がもう１個入っていますね。４の倍数は60÷４で15個あるので、２も更に15個、合計で45個あるはずです。
しかしまだあります。８は２×２×２ですね。だから８の倍数の中にはまだもう１個２が入っています。60÷８は７ですから、２も更に７個、合計52個あります。
けれどこれで終わりではありません。16は２×２×２×２ですから、16の倍数にはもう１個２が入っています。これは数えてもいいでしょう。16と32と48の３個ですね。だから２は55個あります。
そして最後に32の倍数です。32は２×２×２×２×２なので、32の倍数の中には２がもう１個入っているのです。60までの32の倍数は32だけですね。だからこの１個を加えて、２は全部で56個あるのです。たくさんありますね。
そしてこの56個の２を２個ずつ組にすると、２×２の組が28個できます。
というわけでさっきの
１×２×３×（２×２）×５×（２×３）×７×（２×２×２）×（３×３）×（２×５）×11×…
の中には２×２の組が28個あるということがわかりました。そして、２×２は４ですから、この組が１つあれば４で１回割り切れます。28組あるのですから、４で28回割り切れるということになりますね。これが答えです。

（２）
24は２×２×２×３ですね。だから、
１×２×３×（２×２）×５×（２×３）×７×（２×２×２）×（３×３）×（２×５）×11×…
の中に２×２×２×３の組が何個あればいいかを調べればいいのです。
まず、２は56個ありました。これを３つでひと組にすると、56÷３で18組できますね。
では３は何個あるのでしょうか。これはさっきと同じような計算で出します。
まず、３の倍数の中には３が必ず１個は入っています。３の倍数は60÷３で20個ありますから、３も20個ありますね。
次に、３×３の９の倍数を考えます。この中には３がもう１個含まれていますね。９の倍数は60÷９で６個あります。だから３は６個増えて26個あるはずです。
更に、３×３×３の27の倍数の中には３がもう１個入っていますね。60までの27の倍数は27と54の２個です。だから３は全部で28個あります。
その上の81（３×３×３×３）は60を超えてしまうので考えなくていいですね。
というわけで
１×２×３×（２×２）×５×（２×３）×７×（２×２×２）×（３×３）×（２×５）×11×…
の中に２×２×２は18組、３は26個あることがわかりました。これをくっつけて２×２×２×３の組を作ります。何組作れるでしょう。
そう、18組です。わかりますね。２×２×２が18組しかないので、３がたくさんあってもそれ以上できないのです。
女の子が５人、男の子が20人いたとして、女の子と男の子のカップルを作るとしたら何組できますか。５組しかできませんよね。それと同じです。
というわけで
１×２×３×（２×２）×５×（２×３）×７×（２×２×２）×（３×３）×（２×５）×11×…
の中で２×２×２×３は18組作れるのです。ということは24で18回割り切れるということになりますね。これが答えです。

以上ですがわかりましたか。わかりにくかったら補足をつけて下さいね。

お礼

よくわかりました。ありがとうございました。
男の子と女の子のカップルの例がとてもわかりやすかったです。
カレーライス理論と同じですね。

回答No.1

Kiritsugu_Emiya

紙に描いて素因数を数えれば？

お礼

ご回答ありがとうございます。
紙に書くのはさすがに無理かと思いまして。