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数列の操作による左端の変化
- 1からn(nは2以上の自然数)の数列において、左端の数を逆順にする操作を有限回行うと、必ず左端は1になることを証明します。
- この問題について、鳩ノ巣原理を用いて証明する方法や数学的帰納法を利用する方法を試みましたが、うまくいきませんでした。
- ご教授いただける方がいらっしゃいましたら、解決方法を教えていただきたいです。
- colocolocololon
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- 数学・算数
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＞上限が2^(n-1)になることがわかりません…… 2^(n-1)ではなくて、2^n-1です。 最大値は、すべての桁が一致している場合で、 2^0+2^1+2^2+・・・+2^(n-1)＝2^n-1
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- nag0720
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数列から整数への対応を次のように定義する。 i番目がiであるとき、2^(i-1)として、すべての位置の値を合計する。 例えば、 41387652は、3番目と6番目が一致しているので、2^2+2^5=36 83147652は、4番目と6番目が一致しているので、2^3+2^5=40 25674138は、8番目だけが一致しているので、2^7=128 52674138は、2番目と8番目が一致しているので、2^1+2^8=130 始めの数列に対応する整数をa[0]、 k回操作にした数列に対応する整数をa[k]として新たな数列a[0],a[1],a[2],・・・・,a[m]を作ると、 a[m]の下限は0、上限は2^n-1である。 数列a[m]は単調増加数列で、上限があることから、数列a[m]の項数は有限となる。 よって、逆順にする操作も有限となる。
お礼
上限が2^(n-1)になることがわかりません…… Σじゃなくてですか？ あと、なぜ単調増加になるのでしょう？
補足
単調増加になる理由はわかりました！！ 二進法みたいなもんですね！！
- nacci2014
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数学的な証明はわかりませんが 必ず１になる理屈としては１が 左側にきた時にだけ番号交換がないからおしまいは 必ず１であるってことじゃない その他の数学は 必ず数字の入れ替えが発生しますので
お礼
それはそうですが、もしかしたら循環することも考えられます 要するに、必ず有限回の操作で操作が終わるとは限らなじゃないですか 概念的にはその説明で、題意が真であることはわかりますが、それが数学的な説明になりえますでしょうか？
お礼
わかりました！ ありがとうございます！