以下の1次関数の解き方がよくわかりません。

質問

y=-|x-2|+3 (定義域　-1≦x≦3)の値域をもとめよ。

という問いで普通に-1～3を代入して 0≦-|x-2|+3≦3

と回答したのですが答えを見ると…

-1≦x≦3のとき 0≦|x-2|≦3よって 0≦-|x-2|+3≦3

と書かれていました。

何度見ても答えの解き方がわかりません。

どなたか解説いただけないでしょうか。

初歩的な質問であることは理解しています。

回答No.3

englishquestion · ベストアンサー

「答えの解き方」の解説をします。

「-1≦x≦3のとき 0≦|x-2|≦3よって 0≦-|x-2|+3≦3」
を
「-1≦x≦3のとき 0≦|x-2|≦3」と
「0≦|x-2|≦3　よって 0≦-|x-2|+3≦3」
という２つの部分に分けて説明します。

まず前半部分です。こっちは分かるのでしょうか。
「-1≦x≦3のとき 0≦|x-2|≦3」です。

|x-2|っていうのは数直線で言えば、2からの距離を
表しているので、-1≦x≦3 という条件からすれば、
距離が最短になるのは、x=2のときで、距離は0、
最長になるのは、x=-1のときで、距離は3です。
なので、0≦|x-2|≦3　となるわけです。

で、次に後半部分です。
「0≦|x-2|≦3　よって 0≦-|x-2|+3≦3」
おそらくこっちがわからないのではないかと思いました。

不等式の基本の確認です。
x≦a ならば、-x≧-a となるのはご存知ですか？
x≦a ならば、x+b≦a+b となるのはご存知ですか？
この2つしか使っていませんよ。

0≦|x-2|≦3　にマイナスをかけます。
すると不等号の向きがひっくり返ります。
-0≧-|x-2|≧-3
ですね。
普通の向きに変えると、
-3≦-|x-2|≦0
です。

もし、いっぺんに
0≦|x-2|≦3　にマイナスを掛けるのが不安ならば、
これは、
0≦|x-2|　かつ　|x-2|≦3　ということですから、
それぞれにマイナスをかけて、
-0≧-|x-2|　かつ　-|x-2|≧-3　としてから、
再びこの2つを合わせれば、
-0≧-|x-2|≧-3
となるのがわかると思います。
つまり、-3≦-|x-2|≦0　が得られます。

この不等式に、3を足します。不等号の向きは変わりません。
-3+3≦-|x-2|+3≦0+3
つまり、
0≦-|x-2|+3≦3　
となります。

これが「答えの解き方」ですね。

お礼

ご回答ありがとうございます。
ずっと代入してといてきたのでこういう方法で
解いたことは無かったのですがこちらのほうが早く答えを出せそうですね。
詳しい解説ありがとうございました。

回答No.5

shuu_01

＞　普通に-1～3を代入して 0≦-|x-2|+3≦3

x ＝ ー１、０、１、２、３ を代入したの？

普通は x ≦ 2 の時と 2≦ x の時とで場合分けします

解答の　 -1≦x≦3のとき 0≦|x-2|≦3　も
場合分けせずに、いきなり出てきたの？
まあ、簡単だからそれでも良いのかなぁ

0≦|x-2|≦3　

に ー１ をかけると、不等号の向きが変わり、

0≧ー|x-2|≧ー3　

左右入れ替えると

ー3 ≦|x-2|≦0

3 を足すと

0≦-|x-2|+3≦3

お礼

ご回答ありがとうございました。
場合分けをするのですね、確かにこちらのほうが代入をするより楽そうです。

回答No.4

asuncion

ii)の議論は

値域の両端はx = -1, 2のとき（厳密にはx = 2は含まない）
x = -1のときy = 0
xが2に限りなく近づくときyは3に限りなく近づく
値域は0 ≦ y < 3
の方がよいかもしれません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
くわしい解説で解りやすかったです。

回答No.2

asuncion

y = -|x - 2| + 3（定義域 -1 ≦ x ≦ 3）

i)x ≧ 2のとき
y = -|x - 2| + 3
= -(x - 2) + 3
= -x + 5
値域の両端はx = 2, 3のとき
x = 2のときy = 3
x = 3のときy = 2
値域は2 ≦ y ≦ 3

ii)x < 2のとき
y = -|x - 2| + 3
= x - 2 + 3
= x + 1
値域の両端はx = -1, 2のとき
x = -1のときy = 0
x = 2のときy = 3
値域は0 ≦ y ≦ 3

i)ii)より、全体の値域は0 ≦ y ≦ 3

回答No.1

pasocom

自分の質問文を見直しましたか？
あなたの回答と正解が同じですが？？？
数学を解くのに、そんなずさんな性格ではダメです。

|x-2|　というのは「絶対値」です。xが２より小さい時と大きい時では符合が反対になります。
グラフで書けば、x=2の点で折れる直線になるはずです。
だから値域は「普通に-1～3を代入」するだけではなく、x=2の時もチェックする必要があります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
答えが同じなのは理解しておりましたが、答えは自分とやり方が違うようでしたのできになって質問しました。