高校数学Aより。n進法の一の位の数

質問

おはようございます。いつもお世話になっております。

学校で出された課題で疑問が出たので質問させていただきます。

17^18を5進法で表すとき、
一の位の数字を求めなさい。

の解説で

17^nを10進法で表したときの数字は
4つの数7931の繰り返しである。

ここで18=4・4+2であるので
17^18を10進法で表したときの一の位の数字は9である。

★このとき17^18=10A+9(Aは正の整数)
と表され、
10Aを5進法で表すと1の位の数字は0である。

この★の意味がわかりません。
10A+9とはどこから出てきたのですか？Aが正の整数でなくてはならない理由もわかりません。

また、この式がどうして5進法で表すことに繋がるのですか？

どなたかよろしければご教授お願い致します。

回答No.5

bgm38489 · ベストアンサー

一の位がｂである数字は、１０a+bで表せる。この意味が分かりませんか？
例えば、123。一の位が３であるこの数字は、12*10+3で表せるわけです。この１２という数字が、あなたの言うＡに当たるわけ。
二桁以上の自然数を表そうとすれば、このＡは１，２，３…の正の整数となるわけです。（あらゆる自然数を表そうとすれば、Ａは０を含む自然数としなくてはいけませんがね）

＞＞10Aを5進法で表すと1の位の数字は0である。
５進法は、１，２，３，４，１０，１１，１２，１３，１４，２０なのですから、十進法の１０は５進法の２０となります。
このことは、５が10の約数であることに起因します。１の時は１、２なら２、３なら３、４なら４、５なら０、６なら１、７なら２…となるわけです。
同じ０になることを表したいなら、
「10Aを5進法で表すと、５は１０の約数であるため、一の位の数字は0である。」
とした方がいいでしょうね。

お礼

あなたの説明のおかげで全てつながりました（笑）
こんな私に詳しく教えていただいてありがとうございます！

回答No.7

info222_

数学の問題には、問題によっては解法がいくつもあったりします。
いくつかの解法の内、自分で理解しやすい解法をまず確実にものにしましょう。

質問者さんの課題についての解説についての疑問点については他の方が回答済みなので、
別の解法について解説しておきます。

　17^18 =(3*5+2)^18
3*5=nとおくとnは5の倍数です。
　17^18 =(n+2)^18
２項定理を適用すると
　17^18=(n^18)+18*2n^17+ … +18*n*2^17+2^18
　　　　 =n(n^17+18*2n^16+ … +18*2^17) +2^18
nは5の倍数だから
　17^18 (mod 5)= 2^18 (mod 5)
　=2^(3*6) = 8^6 = (5+3)^6
２項定理を適用すると
　 (5+3)^6= 5^6+6*5^5*3+ … +6*5*3^5+3^6 = 5(5^6+6*5^5*3+ … +6*3^5)+3^6
なので
　17^18 (mod 5)= (5+3)^6 (mod 5) = 3^6 = 3^(2*3) = 9^3 = (5+4)^3
２項定理を適用すると
　=5^3+3*5^2*4+3*5*4^2+4^3=5(5^2+3*5*4+3*4^2) +4^3
したがって
　17^18(mod 5) = (5+4)^3 (mod 5) = 4^3 (mod 5) = 64 (mod(5) =(12*5+4) (mod 5) = 4

したがって5進法の一の位は
(答) 4

といった別解もあります。

また
　17^18=(5*2+7)^18
を２項定理を適用して展開すると
　17^18 (mod 5)=(5*2)^18+18*(5*2)^17*7+ … +18(5*2)*7^17 +7^18 (mod 5)
　= 7^18 (mod 5)
　=(5+2)^18
２項定理を適用して展開すると
　=5^18+18*5^17*2+ … +18*5*2^17+2^18 = 2^18 (mod 5)

というわけで
　「17^18の５進数の一の位」は 「7^18の５進数の一の位」と同じ、さらに「2^18の５進数の一の位」
と同じ数になります。
このように随分楽な計算に導けます。
　この先はまた色々な別解がありますね。
どれか、自分で理解しやすい解法を身につけた上で、他の解法も理解するようにしたらいいかと思います。

回答No.6

U_Sugishita

他人の解法をなぞるのは学力向上には繋がらないので、自力で解いてみましょう。

回答No.4

hashioogi

(1)1の位の数が9だとわかっている訳でしょ？
だったら19は10×1+9になるし、2349は10×234+9になるし、123459は10×12345+9になるし、全て10A+9の形に表せるじゃないの。Aは1の位を0にして10で割った数だから整数になるのは当たり前。

(2)5は10の約数だし、今回は1の位だけが求めればいいわけだから、10A+9の形になるということは5進法で表した1の位は9を5で割った余りになる。これが3進法だとか7進法だとかだったら10A+9の形になるということが直接1の位の数を求めることにはつながらないけど。
式で説明すれば、
10A+9=5×2×A+5+4=5(2A+1)+4
だから1の位は4になる。

回答No.3

asuncion

というわけで、10進数のある数値を5進法で表わしたときの
いちばん右の桁がいくつになるかを求める際、
10進数の一の位だけを意識すればよく、
十の位から左側はどんな数であっても関係ないのです。

回答No.2

gohtraw

17^18を10進法で表したときの一の位の数字は9だということは、
17^18から９を引いた数の一の位はゼロですね。ということは
17^18－９＝１０A
と表される訳です。よって９を移項して
17^18＝１０A＋９
17^18は非常に大きな正の整数ですから、上記の式においてAが正
の整数であるのは自明です。

この１０Aは当然５の倍数ですから、１０Aを５進法で表すと一の位
は１０Aを５で割ったあまりであり、それはゼロです。

回答No.1

asuncion

＞17^18を10進法で表したときの一の位の数字は9である。

ここが理解できているのであれば、

＞★このとき17^18=10A+9(Aは正の整数)

ここは自明のはずです。
一の位が9ですので、その数（今回は17^18）から
9を引いた数は10の倍数です。
10の倍数は、正の整数Aを使って10Aと書くことができます。
それに9を加えるのですから、10A + 9と書くことができます。

＞この式がどうして5進法で表すことに繋がるのですか？

10の倍数を5進法で表わすと、いちばん右の桁が必ず0になるからです。
5進法とは5ごとに桁上がり（つまり、いちばん右の桁が0になる）するのですから、
5の倍数である10でも桁上がりしますね。