円を直線で分割すると・・・？

質問

円を直線で分割するとします。１本の直線なら円を
２分割できます。２本ならば最大で４分割できます。
では、直線が３本の場合は、最大何分割できますか？
また、直線が６本の場合は、最大何分割できますか？
教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

verdian · ベストアンサー

１本の時＝２分割
２本の時＝４分割
３本の時＝７分割
４本の時＝１１分割
５本の時＝１６分割
６本の時＝２２分割
７本の時＝２９分割
８本の時＝３７分割
９本の時＝４６分割

直線の数をＮとします
Ｎ本の線で分割できる最大の数をＦ(Ｎ)とすると

Ｆ(０)＝１
Ｆ(Ｎ)＝Ｆ(Ｎ－１)＋Ｎ

だと思いますよ
線を追加する際に
他の線と必ず交差して
尚且つ既存の交点を通過しない様にすれば
最大の数になる様な気がします
ですからこの様に線を追加すれば
分割した数は「既存の線の数＋１」増える

因みに
１００本の時＝５０５１分割
１０００本の時＝５００５０１分割
１００００本の時＝５０００５００１分割

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以上であっていると思いますが
もし間違いがあればご指摘下さい

回答No.2

sumou111

漸化式の問題ですね。

まずN本の直線で、円の平面がA(N)個の領域に分けられると考えます。

直線がN本の状態の時、N+1本目の直線を追加すると、この直線は既に存在するN本の直線とN個の点で交わります。よって

A(N+1)=A(N)+N・・・(1)

という式が成り立ちます。またN+1本目の直線は、このN個の頂点でN+1個の部分に分けられて、その各々に対して新しい領域が1つずつできるので、

A(N+1)=A(N)+N+1・・・(2)　が成り立ちます。

まずA(N)を求めます。(2)より

A(N+1)-A(N)=N+1　になります。

数列{A(N)}の階差数列の一般項はN+1でありますから、Nが２以上の時、

A(N)=A(1)+1/2N(N-1)+N-1

=1/2(N^2+N+2)

が成り立ちます。これが答えで、Nに任意の直線の数を代入すれば領域の数A(N)が求まります。（Σがうまく表現できなかったので、省略しました。）　

ですから、直線が３本の時は、A(3) = 1/2(3^2+3+2) = 7分割。直線が６本の時は、A(6) = 1/2(6^2+6+2) = 22分割できます。

以上です。