数学のこの確率の問題の途中式と答えを教えてください

質問

(k+1)個(k≧1)の部屋A0,A1,A2,......Akがある。秋吉君はある部屋から、その部屋以外の部屋を等しい確率1/kで1つ選び、そこへ移動する。最初、部屋A0にいた秋吉君が、n回(n≧1)部屋を移動した後に部屋A1にいる確率を求めよ.

2011年千葉大の問題です
どうか途中式と回答を教えてください！

回答No.3

naniwacchi

#1です。
どこで千葉君の名前が変わったのかわかりませんが。

漸化式が立てば、あとは数列の問題です。
n回目にA1にいる確率を P[n]とおけば、
n-1回目に A1にいない確率は 1- P[n-1]であり、
そこから 1/kで A1にたどり着きます。
初項は 1回目のときなので、計算できますよね。

回答No.2

MagicianKuma

具体的な例を計算してみるのが早道かも、k=4でやってみましょう
n=0(初期) A0～A5にいる確率は(1, 0, 0, 0, 0)と表現できます。
n=1では、(0, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4)となります。
n=2では、(1/4, 3/16, 3/16, 3/16, 3/16)
n=3では、(3/16, 13/64, 13/64, 13/64, 13/64)
n=4では、(13/64, 51/256, 51/256, 51/256, 51/256)
・・・
これから推定されるように、どの時点でもA1～Akに存在する確率は同じです。これは対称性からみても推定できますね。初期にA0にいた場合、A1～AkはA0に対し同じ関係にあるからです。A0は立場が異なります。
さてどう解きましょうか？　n時点でA0にいる確率をP(A0)=α(n)、A1～Akにそれぞれ存在する確率をP(A1)=P(A2)=P(A3)=・・・=P(Ak)=β(n)とします。すると次の関係式が得られます。
α(0)=1, α(n)=β(n-1) (n≧1)
β(0)=0, β(n)=β(n-1)・(k-1)/k + α(n-1)/k (n≧1)
これらからn≧2の場合、αを消去でき、β(n) = β(n-1)・(k-1)/k + β(n-2)/k のβについての漸化式が得られます。これをβ(0)=0,β(1)=1/kの初期条件で解けば求める解です。
答え：β(n)={k^n-(-1)^n}/(k+1)/k^n

回答No.1

naniwacchi

＞n回(n≧1)部屋を移動した後に部屋A1にいる確率を求めよ.
n回目に部屋A1にいるのであれば、
「n-1回目には部屋A1にはおらず、そこから部屋A1に移動してくる」と考える。