方程式の求め方

質問

(1)||x|-2|=√(|(X＾2)-4x|＋4)

これはどのように求めるのかわかりません。
絶対値があると難しく思えてしまいます。

(2)
〔(i＋1)/√5〕＾4t - 〔(i-1)/√5〕＾4tを簡単にするさいどのようにするかわかりません。
ここでのiは虚数単位です。

√5をかけると
〔(i＋1)〕＾4t - 〔(i-1)〕＾4t
になり、すこし簡単な式になったかな？と思えますが

どうやって乗数を消すのかわかりません。

知識がなくてすいません。
教えてくれませんか？お願いします。

回答No.12

Rossana · ベストアンサー

>x＜-2のとき
>|x^2-4x|＝-(x^2-4x)にはなりませんか？

なりません。
x＜－2のときなので，たとえば，x＝－10を代入すると，
x^2-4x＝x(x－4)＝－10(－14)＝140＞0
ですね。
x＜－2のときはx^2－4x＞0となります。
y＝x^2－4xのグラフを書いて
２次不等式の単元をしっかりと復習して下さい。

|A|＝－AとなるのはA＜0のときです。

回答No.11

Rossana

>イ）x＜-2のとき
>|x|＝-x, ||x|-2|=|x+2|=-(x+2),
>|x^2-4x|=x^2-4xだから
>(1)式は
>-(x+2)=√(x^2-4x+4)
>
>√(x^2-4x+4)について聞きたいのですが
>=√(|x^2-4x|+4)の絶対値は使わないのですか？
>絶対値が消えているのでどうやって計算をするのかな
>とおもいまして。
>
>それから、返事が遅くなってすいません。

この場合|x^2-4x|＝x^2-4xなので
√(|x^2-4x|+4)＝√(x^2-4x+4)＝√{(x-2)^2}＝|x-2|

○　√(A^2)＝|A|
×　√(A^2)＝A

ということに注意して下さい！！
間違える人が結構多いと思います．

返事は遅くなって構いません．時間をかけてじっくり理解してください．では，頑張って下さいね．

補足

この場合|x^2-4x|＝x^2-4xなので
がよくわかりません。
x＜-2のとき
|x^2-4x|＝-(x^2-4x)にはなりませんか？

回答No.10

Rossana

>すいません。
>もう一つ疑問で、
>|x^2-4x|=x^2-4xがわかりません。

どこの部分の|x^2-4x|を指しているのでしょうか？

とりあえず練習問題として次の問題を一度解いてから考えて下さい．そうすると何をやってるか分かりやすいかもしれないので．

Q.次の不等式を解けx^2－x－6＜0

とりあえずこの疑問は，
　x^2－4x＝x(x-4)
と因数分解できるので，
x＜0，4＜x　ならば　|x^2-4x|=x^2-4x
0＜x＜4　ならば　|x^2-4x|=-(x^2-4x)
となります．
分からなかったら補足下さい．

回答No.9

mickel131

[問題を解くのには要らないことですが]
[√5をかけると
〔(i＋1)〕＾4t - 〔(i-1)〕＾4t
になり、]

と書いていらっしゃいますが、

〔(i＋1)/√5〕＾4t - 〔(i-1)/√5〕＾4tを
〔(i＋1)〕＾4t - 〔(i-1)〕＾4t にするには、
（√5）＾4t を掛けなければなりません。
（√5）を掛けただけでは分母は消えません。

問題を解くのには要らないことですが、知っておいて損はありません。

回答No.8

Rossana

>(2)
>なのですが、
>＝[√2(cos45°＋ i sin45°)/√5]^4
>－[－√2{cos(-45°)＋ i sin(-45°)}/√5]^4
>
>＝(4/25)[(cos180°＋ i sin180°)
>－{cos(-180°)＋ i sin(-180°)}]
>
>＝(4/25)[2isin180°]
>
>についてよくわからないです、

まず，1＋i＝√2{(1/√2)＋(1/√2)i}
＝√2(cos45°＋ i sin45°)
となります．
1＋iを複素数平面上で図示すればこんな式変形しなくても一発で極形式は求まりますね．

それから
ド・モアブルの定理
　(cosθ＋isinθ)^4＝cos4θ＋isin4θ
を使いました．
知らなかったら複素数の分野を復習して下さい．
基本的な定理です．

回答No.7

Rossana

>(1)なのですが|x|＝-x, ||x|-2|=|x+2|=-(x+2),
>がよくわかりません。

イ）x＜-2(＜0)のときx＜0であるから
|x|＝－x,
||x|-2|＝|-x-2|
＝|-(x+2)|
＝|-1||x+2|
＝|x+2|
＝-(x+2) (∵ x＜-2⇔x+2＜0)

お礼

すいません。
もう一つ疑問で、
|x^2-4x|=x^2-4xがわかりません。
|x^2-4x|=-(x^2-4x)

マイナスはどうしてりようしないのですか？x＜-2の範囲がありますがよくわからないです

補足

イ）x＜-2のとき
|x|＝-x, ||x|-2|=|x+2|=-(x+2),
|x^2-4x|=x^2-4xだから
(1)式は
-(x+2)=√(x^2-4x+4)

√(x^2-4x+4)について聞きたいのですが
=√(|x^2-4x|+4)の絶対値は使わないのですか？
絶対値が消えているのでどうやって計算をするのかなとおもいまして。

それから、返事が遅くなってすいません。

回答No.6

Rossana

>場合わけがよくわからないのですが、
>イ）x＜-2のとき
>ロ）-2≦x＜0のとき
>ハ）0≦x＜2のとき
>二）2≦x＜4のとき
>ホ）4≦xのとき
>はどうしてでるのですか？
>どこの式からわかるのですか？
|x|, ||x|-2|, |x^2-4x|=|x(x-4)|の形から
境界は-2, 0, 2, 4にありそうだとなんとなく予測。グラフを書くのもいい手かもしれないが，私はほとんど直感的に境界を判断している。境界が不十分だったら付け足して余分だったら削除すればいい。
そして,一番左に縦に|x|, ||x|-2|, |x^2-4x|の欄を，上に…，-2，…，0，…，2，…，4，…のように書いて微分法の分野で使う増減表のような感じで＋，－を書き込んだ表を作ると分かりやすい。

回答No.5

Rossana

上式にtを乗じて
∴〔(i＋1)/√5〕^4t－〔(i-1)/√5〕^4t＝0
です。

#3では＝0が落ちていました。訂正お願いします。

回答No.4

mickel131

〔(i＋1)/√5〕＾4t - 〔(i-1)/√5〕＾4t
iは虚数単位ですから、i^2　は－１です。
ある数の４乗は、その数を２乗してから、また２乗 したらいいです。
ある数の　4t乗は、４乗してからｔ乗したらいいですね。だから、〔(i＋1)/√5〕＾4t のところは、
〔(i＋1)/√5〕を２乗して、また２乗して、それからｔ乗するとよいわけです。
ところが、〔(i＋1)/√5〕を２乗すると簡単になってしうのです。
分子　(i＋1)^2＝i^2+2*i+1=-1+2*i+1=2*i
分母　√5^2=√(25)=5
だから、〔(i＋1)/√5〕を２乗すると（2*i/5)
です。これをまた２乗して、（4*i^2/25)
これをｔ乗しますから、結局、
〔(i＋1)/√5〕＾4t ＝（4*i^2/25)^t
です。最後の式中のi^2 は、 -1　ですけど。
〔(i-1)/√5〕＾4t　の方も同じように計算すれば、
結局（4*i^2/25)^t　になります。これは、さっきのと同じ式です。

だから、答えは０

回答No.3

Rossana

〔(i＋1)/√5〕^4－〔(i-1)/√5〕^4

＝[√2(cos45°＋ i sin45°)/√5]^4
－[－√2{cos(-45°)＋ i sin(-45°)}/√5]^4

＝(4/25)[(cos180°＋ i sin180°)
－{cos(-180°)＋ i sin(-180°)}]

＝(4/25)[2isin180°]

＝0

上式にtを乗じて
∴〔(i＋1)/√5〕^4t－〔(i-1)/√5〕^4t

もしかしたら
〔(i＋1)/√5〕^(4t) - 〔(i-1)/√5〕^(4t)
という意味の問題なのかもしれないので自信なしにしておきます．

補足

こんばんわ。
(1)なのですが|x|＝-x, ||x|-2|=|x+2|=-(x+2),
がよくわかりません。

それから、
(2)
なのですが、
＝[√2(cos45°＋ i sin45°)/√5]^4
－[－√2{cos(-45°)＋ i sin(-45°)}/√5]^4

＝(4/25)[(cos180°＋ i sin180°)
－{cos(-180°)＋ i sin(-180°)}]

＝(4/25)[2isin180°]

についてよくわからないです、

回答No.2

mickel131

私の側の誤動作で書いていた回答が全部消えてしまったので、今度は少し簡略に書きます。
（１）両辺を２乗しても等号は成り立ちます。左辺の２乗を計算して、|x|^2=x^2　に注意すると、
x^2-2|x| =|x^2-4*x|=|x(x-4)|
となります。
絶対値記号をはずします。
(1)　x≧0　のとき、|x|=x (絶対値記号の中身が正ならば、記号はそのままはずせる）
x＜0 のとき、|x|=-x　(絶対値記号の中身が負ならば、中身を－１倍して記号をはずす）

(2) x(x-4)　≧0　のとき、|x(x-4)| =x(x-4)
　　x(x-4)　＜0 のとき、|x(x-4)| =－x(x-4)
ここで、
　　x(x-4) ≧0 のとき、ってどんなときなのか。
これは、数学Ｉの２次不等式で学習しています。
x(x-4)≧0となるのは、x≦0のときと4≦xのときですね。
x(x-4)＜0となるのは、0＜x＜4　のときです。

私から質問です。
(1)と(2)と合わせると、
どういう場合分けができますか？
x≦0のときと、・・・

この続きは、yumicyan　の返事を聞いてからにします。