二つの封筒の問題

質問

お金の入った二つの封筒があります。

一方の封筒には、もう一方の封筒に入っているお金の2倍の金額のお金が入っていることが分かっています。

あなたはどちらか一方のみを持ち帰ることが出来ます。 より高額な方を持ち帰りたいとしましょう。

まず、一方の封筒を選び中身を確認したところ、1000円入っていました。

あなたは、そのまま最初に選んだ封筒の1000円を持ち帰ることも出来ますし、最初に選んだ封筒は持ち帰らず、残ったもう一方の封筒に入ったお金を持ち帰ることも出来ます。

残ったもう一方の封筒の中身は、2000円か500円のどちらかということが分かるので、残ったもう一方の封筒を持ち帰った場合の期待値を計算してみると、
2000円×(1/2)+500円×(1/2)=1250円
となり、最初に選んだ封筒の金額1000円を上回るので、最初に選んだ封筒ではなく、残ったもう一方の封筒を持ち帰った方が得、ということになります。

ところが、いろいろと金額を変えて計算してみても、最初に選んだ封筒に入っている金額に関係なく、持ち帰る封筒を変更した場合の期待値は、最初に選んだ封筒に入っている金額の1.25倍になることが分かります。

ということは、最初に封筒を選んだ時点で、中身を確認するまでもなく、持ち帰る封筒を残ったもう一方の封筒に変更した方が良いということになりますが、「選んだ時点で、持ち帰る封筒を変更した方が得」というような事があるのでしょうか。

※選んだだけなら、持ち帰る封筒を交換することには全く意味がないと思えるのですが。

回答No.21

MagicianKuma

No19＞最初に封筒を選んだ時点で、中身を確認するまでもなく、持ち帰る封筒を残ったもう一方の封筒に変更した方が良いということになりますが、「選んだ時点で、持ち帰る封筒を変更した方が得」というような事があるのでしょうか。

ありませんが、ちょっとおもしろいバリエーションを紹介します。封筒のペアを次のルールで作成します。サイコロを1,6が出るまで振り続けます。n回目で出たとすると、封筒のペアを(2^(n-1),2^n)とします。これが起こる確率は(1/3)(2/3)^(n-1)です。（幾何分布です)
具体的には(1,2)のペアを1/3の確率で、(2,4)を2/9の確率で、(4,8)を4/27の確率で選ぶ　以下同様とします。選ぶ過程は選択者には分からないようにして、選ばれた封筒ペアを選択者に提示します。選択者はこれらのルールは承知しています。で、選択者は封筒ペアの一方を選択し開封して確認します。
(1)確認した数値が1だったとすると、もう一方は2しかないので、交換するのが良い。
(2)確認した数値が2^k,(k>0)だったとする。このとき、封筒は(2^(k-1),2^k)のペアか(2^k,2^(k+1))のペアのどっちかである。この両者の確率比は1:2/3なので、2^kという数値が観測されたという条件のもと、もう一方の封筒の期待値は、(3*2^(k-1)+2*2^(k+1))/(3+2) =11/10*2^kとなり2^kより大きい。なので、交換した方が良い。
(3)(1),(2)からどんな結果が観測された場合も、観測値より交換した場合の期待値が高くなる。
(4)ならば、観測する必要なく、選んだ封筒の逆を選ぶ方が良い？？？？　

パラドキシカルな状況ですが、どっかが間違っているのでしょう。そもそも、上記ルールで封筒ペアを提示することが本当にできるのか？できたとして、封筒を選んだ時点（開封前）の期待値は計算すると発散するので、期待値を云々することに意味がない。といったあたりがヒントのような気がします。

回答No.20

alice_44

ああ、質問後半の混乱の話か。そうだね。

A No.2 14 18 は、質問前半の間違いの話。
そもそも、この誤解が、混乱を生んだのだから。

後半への説明なら、A No.6 がシンプルだよ。

回答No.19

中村 拓男（@tknakamuri）

>全部を平均するんじゃなくて、
>1000円を見た場合だけの平均を出さにゃ
>意味ないじゃん。

■最初に封筒を選んだ時点で、中身を確認するまでもなく、持ち帰る封筒を残ったもう
■一方の封筒に変更した方が良いということになりますが、「選んだ時点で、持ち帰る封筒を変更した方
■が得」というような事があるのでしょうか。

が質問の核心だと思いますが？？　

それに金額別の結果も付けましたよ。

回答No.18

alice_44

全部を平均するんじゃなくて、
1000円を見た場合だけの平均を出さにゃ
意味ないじゃん。

回答No.17

中村 拓男（@tknakamuri）

申し訳ない。計算,記述が誤っていました。再掲します。

胴元の持っているパターンを A:[500,1000], B:[1000, 2000], C:[2000, 4000]
で、各パターンの出題確率は 0.5, 0.25, 0.25　とします。

「あなた」が 500 円をあけるのは パターンA
変更すると必ず得だから 500円得
確率は 0.5 x 0.5 =0.25
変更の損得の期待値は0.25 x 500 = 125円

「あなた」が 1000 円をあけるのは パターンA, B
A で変更すると必ず損だから 500円損
確率は 0.5 x 0.5 = 0.25
変更の損得の期待値は0.25 x (-500) = -125円
B で変更すると必ず得だから 1000円得
確率は 0.25 x 0.5 = 0.125
変更の損得の期待値は0.125 x 1000 = 125円

「あなた」が 2000 円をあけるのは パターンB, C
B で変更すると必ず損だから 1000円損
確率は 0.25 x 0.5 = 0.125
変更の損得の期待値は0.125 x (-1000) = -125円
C で変更すると必ず得だから 2000円得
確率は 0.25 x 0.5 = 0.125
変更の損得の期待値は0.125 x 2000 = 250円

「あなた」が 4000 円をあけるのは パターンC
C で変更すると必ず損だから 2000円損
確率は 0.25 x 0.5 = 0.125
変更の損得の期待値は0.125 x 2000 = -250円

変更の損得の期待値の合計は 125円(500円を見た場合の分)
変更の損得の期待値の合計は 0円(1000円を見た場合の分)
変更の損得の期待値の合計は 125円(2000円を見た場合の分)
変更の損得の期待値の合計は -250円(4000円を見た場合の分)

変更の損得の期待値の合計は 0円(全て変更)

回答No.16

中村 拓男（@tknakamuri）

ちょっと実例を

胴元の持っているパターンを A:[500,1000], B:[1000, 2000], C:[2000, 4000]
で、各パターンの出題確率は 0.5, 0.25, 0.25　とします。

「あなた」が 500 円をあけるのは パターンA
変更すると必ず得だから 500円得
確率は 0.5 x 0.5 =0.25
変更の損得の期待値は0.25 x 500 = 75円

「あなた」が 1000 円をあけるのは パターンA, B
A で変更すると必ず損だから 500円損
確率は 0.5 x 0.5 = 0.25
変更の損得の期待値は0.25 x (-500) = -75円
B で変更すると必ず得だから 1000円得
確率は 0.25 x 0.5 = 0.125
変更の損得の期待値は0.125 x 1000 = 125円

「あなた」が 2000 円をあけるのは パターンB, C
B で変更すると必ず損だから 1000円損
確率は 0.25 x 0.5 = 0.125
変更の損得の期待値は0.125 x (-1000) = -125円
C で変更すると必ず得だから 2000円得
確率は 0.25 x 0.5 = 0.125
変更の損得の期待値は0.125 x 2000 = 250円

「あなた」が 4000 円をあけるのは パターンC
C で変更すると必ず損だから 1000円損
確率は 0.25 x 0.5 = 0.125
変更の損得の期待値は0.125 x 2000 = -250円

変更の損得の期待値の合計は 75円(500円を見た場合の分)
変更の損得の期待値の合計は 50円(1000円を見た場合の分)
変更の損得の期待値の合計は 125円(2000円を見た場合の分)
変更の損得の期待値の合計は -250円(4000円を見た場合の分)

変更の損得の期待値の合計は 0円(全て変更)

なので、この出題ルールなら 2000円以下なら変更すれば
ぼろもうけの確率が高いです。
見ずに必ず変更するなら変更による損得は 0円。

取りあえずこれは一例ですけど、金額ではなく, A, B C に注目すると
A No. 6 のパターンで対のデータが出来ているので、相殺を一般化できると思います。

回答No.15

MagicianKuma

No6>途中で封筒を開けるのは無意味です。そうしたところで何ら役に立つ情報は得られない。
これは、封筒のペアがどういうルールで提供されるのか一切情報がない。という前提で同意します。
ただし、封筒のペアの提供のされ方が事前に分かっていれば、封筒を選択した瞬間と、その結果（数値）を確認した後では状況は変わります。
No8さんが言っていることはそういうことではないでしょうか？

回答No.14

alice_44

その 1/2 を、
開けてない封筒が 2000 である確率と混同した
のが、質問にある混乱なんじゃないの？

開けた封筒が 1000 だったという条件下の、
開けてない封筒の条件付き期待値は、
A No.2 に書いたとおり。
p に依存して不定なので、きれいに相殺はしない。

交換することが有利か不利かは、
p が 1 に近いか 0 に近いかで変わる。
どっちが有利か解らないということと、
どっちでも同じ有利さということは、全く異なる。

箱に赤と白の球が入っていて、その個数は知らない
とき、次に取り出す球が赤に賭けるのが有利か、
白に賭けるのが有利か？
胴元は、笑って見ているよ。

回答No.13

中村 拓男（@tknakamuri）

>封筒を開ける前なら、開けようとしている封筒が x か 2x かの確率は1/2です。しかし、封筒を開けて >1,000円 だと分かってしまったら、それが x か 2x かの確率は1/2 と限らないといういことです。

No. 6 や 9 ででてくる 1/2 は2つの封筒のどちらを「あなた」が選ぶかという確率なので
1/2 でよいと思います。

回答No.12

中村 拓男（@tknakamuri）

>なお、入っているお金が上の[1][2][3]のどれかと同じ確率分布だったとしても、
>その分布を知らなければ、変えて損するか得するかは分かりません。
>このことを指して「損得の確率がそれぞれ1/2」とか「期待値が同じ」とかいうのは間違いです。
>そもそも分布が分からないのだから、損得の確率や期待値を計算しようがないからです。

いや主催者が用意するであろうパターンの確率分布を全て決めて、全パターンで
期待値を計算すると、損時のあるなしがきれいに相殺するということなんです。

とりえあず数個のパターンでやってみることをお勧めします。直ぐにわかりますよ。

ただ、確率分布を全て決めて出題するというルール以外のルールもあるのかもしれません。
この辺は考察がまだ足りません。