二つの封筒の問題

質問

お金の入った二つの封筒があります。

一方の封筒には、もう一方の封筒に入っているお金の2倍の金額のお金が入っていることが分かっています。

あなたはどちらか一方のみを持ち帰ることが出来ます。 より高額な方を持ち帰りたいとしましょう。

まず、一方の封筒を選び中身を確認したところ、1000円入っていました。

あなたは、そのまま最初に選んだ封筒の1000円を持ち帰ることも出来ますし、最初に選んだ封筒は持ち帰らず、残ったもう一方の封筒に入ったお金を持ち帰ることも出来ます。

残ったもう一方の封筒の中身は、2000円か500円のどちらかということが分かるので、残ったもう一方の封筒を持ち帰った場合の期待値を計算してみると、
2000円×(1/2)+500円×(1/2)=1250円
となり、最初に選んだ封筒の金額1000円を上回るので、最初に選んだ封筒ではなく、残ったもう一方の封筒を持ち帰った方が得、ということになります。

ところが、いろいろと金額を変えて計算してみても、最初に選んだ封筒に入っている金額に関係なく、持ち帰る封筒を変更した場合の期待値は、最初に選んだ封筒に入っている金額の1.25倍になることが分かります。

ということは、最初に封筒を選んだ時点で、中身を確認するまでもなく、持ち帰る封筒を残ったもう一方の封筒に変更した方が良いということになりますが、「選んだ時点で、持ち帰る封筒を変更した方が得」というような事があるのでしょうか。

※選んだだけなら、持ち帰る封筒を交換することには全く意味がないと思えるのですが。

回答No.11

ramayana

No.9さん<

封筒を開ける前なら、開けようとしている封筒が x か 2x かの確率は1/2です。しかし、封筒を開けて 1,000円 だと分かってしまったら、それが x か 2x かの確率は1/2 と限らないといういことです。

私のほうはこれで打ち止めにして、あとは、質問者さんおよび閲覧者さんたちのご判断にゆだねたいと思います。

回答No.10

中村 拓男（@tknakamuri）

>従って、選択を変更したときに得られる額の期待値は
>　　(1/2)(2X) + (1/2)X = (3/2)X
>である。

これは主催者がセッティングを終えた後の期待値ですね。
既にXが確定した後の期待値の式です。

知りたいのは主催者のセッティングまで含めた「あなた」が
受け取るであろう金額です。

X の確率分布がわからないと、10円か10兆円か予想できません。

回答No.9

stomachman

No.7さん<

> 額の期待値は求められなくても、

いやいや、もちろん計算できますとも。

(1) 最初に選んだ封筒がもしX円入りなら、他方は2X円入りであるから、選択を変更すれば得られる額は2X円である。

(2) 最初に選んだ封筒がもし2X円入りなら、他方はX円入りであるから、選択を変更すれば得られる額はX円である。

従って、選択を変更したときに得られる額の期待値は
　　(1/2)(2X) + (1/2)X = (3/2)X
である。

一方、選択を変更しなかったときに得られる額の期待値は

　　(1/2)X + (1/2)(2X) = (3/2)X
である。

当然ながら、どっちも同じです。

回答No.8

ramayana

封筒を開ける前だったら、どちらの封筒をとっても期待値は同じ。これはあたりまえ。
しかし、一方の封筒が1,000円だと分かった後は、話が全然違います。

[1]　もし、封筒に1,000円と500円しか入っていないと分かっていれば、変えると損します。

[2]　もし、封筒に1,000円と2,000円しか入っていない分かっていれば、変えると得します。

[3]　もし、封筒に1,000円と500円か、1,000円と2,000円かのどちらかが 1/2 の確率で入っていると分かっていれば、（期待値の意味で）変えると得します。

なお、入っているお金が上の[1][2][3]のどれかと同じ確率分布だったとしても、その分布を知らなければ、変えて損するか得するかは分かりません。このことを指して「損得の確率がそれぞれ1/2」とか「期待値が同じ」とかいうのは間違いです。そもそも分布が分からないのだから、損得の確率や期待値を計算しようがないからです。

回答No.7

中村 拓男（@tknakamuri）

>(1) 最初に選んだ封筒がもしX円入りなら、他方は2X円入りであるから、選択を変更すればX円得である。
>(2) 最初に選んだ封筒がもし2X円入りなら、他方はX円入りであるから、選択を変更すればX円損である。

なるほど、額の期待値は求められなくても、「変更の損得」の期待値は求められそうですね(⇒０)。
確率分布を決めて全額の期待値を計算するときも、必ずこのパターンの相殺が現れるみたいです。

分布が決まらないと「変更の損得」も決まらないと書いてあるサイトが多いですが、どうも嘘っぽい。

回答No.6

stomachman

途中で封筒を開けるのは無意味です。そうしたところで何ら役に立つ情報は得られない。なので、これはナシにしましょう。すると、

[1] 普通に考えればこうなるでしょ：

X円入っている封筒と、2X円入っている封筒がある。（Xは未知の定数である。）
(1) 最初に選んだ封筒がもしX円入りなら、他方は2X円入りであるから、選択を変更すればX円得である。
(2) 最初に選んだ封筒がもし2X円入りなら、他方はX円入りであるから、選択を変更すればX円損である。

(1)(2)のどちらも同じ確率で生じるのだから、「選択を変更したときにどれだけ得をするか」の期待値を計算すると、
　　(1/2) X + (1/2) (-X) = 0
だから、選択を変更してもしなくてもどーでもよろしい。

[2] なのに、ご質問にお書きのような言い方に変えただけで、矛盾が現れた。つまり「言い方」のどこかにおかしい部分があるに違いない。それはどこ？ というのがホントの問題ですね。

X円入っている封筒と、2X円入っている封筒がある。（Xは未知の定数である。）
選択した封筒にP円入っているものとする。　(P=1000だと分かっても分からなくてもどうでもいいのです。）
(1) もしP=Xであるなら、他方は2P円入りであるから、選択を変更すればP円得である。
(2) もしP=2Xであるなら、他方はP/2円入りであるから、選択を変更すればP/2円損である。

(1)(2)のどちらも同じ確率で生じる。さて、「…であるなら、」の前に付いている条件が異なりますから、(1)と(2)ではPが異なるものを表している。なので、「選択を変更したときにどれだけ得をするか」の期待値は、単純に
　　(1/2)P + (1/2) (-P/2)
で計算するわけには行きません。この式の最初のPと2番目のPは別のものを表しているからです。

[3] そこで、ご質問の「言い方」を以下のように修正してみましょう。

X円入っている封筒と、2X円入っている封筒がある。（Xは未知の定数である。）
(1) 選択した封筒にP円入っているものとする。もしP=Xであるなら、他方は2P円入りであるから、選択を変更すればP円得である。
(2) 選択した封筒にQ円入っているものとする。もしQ=2Xであるなら、他方はQ/2円入りであるから、選択を変更すればQ/2円損である。

こうすれば、「(1)と(2)ではPが異なるものを表している」という不都合が現れなくなります。「選択を変更したときにどれだけ得をするか」期待値は
　(1/2)P + (1/2) (-Q/2)
であると計算できる。そこで「もし…であるなら、」の条件を使ってP, Qを消去してみれば、問題は[1]と全く同じになって、矛盾は雲散霧消するわけです。

[4]だからポイントは、「最初に選んだ封筒に入っているお金 P円を基準にして他方の封筒のお金を計算しているけれども、場合ごとにPの意味が別物にすり替わっている」ということにあったんです。封筒を開けることによってPは1000円だと確定する。P=1000だと具体的に分かることによって却って、Pの意味がすり替わっていることに気付きにくくなる、というトリックですね。

お礼

ご回答ありがとうございます。

もっと単純な理由でこの問題の矛盾は
解けそうな気がします。

回答No.5

mota_miho

こちらをご参考に。

「Two envelopes problem」
https://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

封筒の金額の確率分布が不明だと期待値は計算できないと思います。

例えば主催者は n=1~5000 の整数の乱数で 2n円, 4n円セットするとして
つまり金額に上限があるとして計算するとおもしろいかもしれません。

お礼

ご回答ありがとうございます。

金額に上限があるとするのは
一つの考え方かもしれません。

回答No.3

ramayana

高い方の金額の分布を考えて、それが x 円である確率を p(x) とする。すると、低い方の金額が x 円である確率は、 p(2x) である。一方の封筒の中身が x 円だと分かったとして、その条件の下でその封筒が高い方である確率は、 p(x)/(p(x)+p(2x)) であり、低い方である確率は、 p(2x)/(p(x)+p(2x)) である。よって、残りを選んだときの期待値を E とすれば、

　　E = (x/2)×p(x)/(p(x)+p(2x)) + (2x) ×p(2x)/(p(x)+p(2x))

となる。残りを選んだ方が得か損かは、 E-x が正か負かで判断できる。計算すると、

　　E-x = C(2p(2x)-p(x)) ただしC = (x/2)(p(x)+p(2x))

となる。もし、確率分布 p(x) が分かっているなら、 2p(2x) が p(x) より大きいかどうかで残りを選ぶかどうかを判断すればよい。しかし、ふつうは p(x) が未知と思われるので、判断できない。

もっとも、半端な金額がないとすれば、 x が奇数のとき、それは確実に低い方の金額だから、残りを選ぶ方が絶対得である。

お礼

ご回答ありがとうございます。

最初の封筒の中身が1000円のとき
交換したときの期待値も1000円であるべきだと
思っています。

回答No.2

alice_44

1000,2000 が用意されていた確率を p とすると、
1000,500 が用意されていた確率は 1-p。
1000,2000 から 1000 を選ぶ確率も、
1000,500 から 1000 を選ぶ確率も、1/2。

この設定の下に、最初に 1000 を選ぶ確率は
p(1/2)+(1-p)(1/2)=1/2 で間違いないが…
もう一方が 2000 である確率は p、
500 である確率は 1-p であって、
p が 1/2 だと考える理由は、何もない。

封筒を交換した場合の中身の期待値は
2000p+500(1-p) であり、これは
p が 1 に近いとき 2000 に、
p が 0 に近いとき 500 に近い。
要するに、2000 がありそうだと思えば
交換すればいい…というだけの話。

お礼

ご回答ありがとうございます。

私自身は、1000円を確認した時点で
もう一方が、2000円か500円かの確率は
決まっていると考えています。