Gauss掃出し法のベンチマークテスト

質問

ある事情から、効率化オプションを組み込んだ、連立1次方程式のGauss掃出し法のベンチマークテストをやっています（今さらながら・・・(^^；)）。

　以下は本来であれば「コンピューター（技術者向け）」の板に質問すべき事ですが、ものが数値計算だけに、ここに経験済みの方がいらっしゃるのでは？と思い、質問しました。

　Visual Studio 2010以上では、プログラム群のプラットフォーム環境としてAny CPUおよび、32bit（X86）と64bit（X64）を、プログラムの対象として32bit／64bitのコンパイラースイッチを選べます。

　「Any CPU環境」×「32bit対象」でコンパイルしたプログラムを、64bitCPU×1，搭載メモリ8GBのマシンにインストールすると、結果から判断してプログラムは、32bitCPU×2のマシンと解釈しているように見えます（エミュレート）。この判断は正しいでしょうか？。メモリ8GBの行列規模1000なので、仮想メモリによるパフォーマンス低下などはない、と考えています。

　昔、Insider .NETなどでこのような話を読んだような気もするのですが、どこだったか忘れました。

　手がかりになるマニュアル，サイト、もしくは「こう考えれば明らかだよね？」など、ご存知でしたら教えて下さい。

回答No.3

Water_5 · ベストアンサー

すみません。私が勘違いしておりました。
Gauss掃出し法はいまでも盛んにやられています。

現在、盛んに計算させているようですが、
パラメーターを色々変えてやっているとき

計算不能のエラーを出してストップすることありませんか？
このときは、誤差を出して計算不能になっているのです。

このため、私は、出てきた答えが真値かどうか、わからないと
言ったのですが、これは言いすぎですね。すみません。

お礼

ご回答ありがとうございます。こんな回答の付きそうにない質問を無視しないで頂いて、嬉しかったです。

　これから同じ質問を、「［技術者向け］コンピューター」の板に投げるために、これで締め切らせて頂きます。

　やっぱり「蛇の道は蛇」・・・なんでしょうね(^^；)。

補足

返信が遅れて申し訳ありません。

＞誤差は未知数の数に比例する・・・

　それは確かにそうですね。通常規模の係数行列範囲内（1000～5000）でも、倍精度実数の有効桁数約16桁の内、6桁くらいは誤差で食われる事は覚悟しないといけないなぁ～(^^；)と、経験的には思っています。整数に換算すれば100万オーダーですから、微妙な比較をやってる時は、頭が痛くなります(^^；)。

＞計算不能のエラーを出してストップすることありませんか？

とは、「Division by zero」もしくは「Over flow」エラーの事でしょうか？。

　上記対策として普通は、Scalingを前提に行方向Pivot選択を行って対処しますが、Scalingと行方向Pivot選択をやっていれば、係数行列が特異でない限り実用的には、しぶとくほとんど真値を出してくれると思っています。というか、Scalingと行方向Pivot選択をやって初めて、誤差で食われる桁数が6桁程度に収まる気がしてます。

　係数行列が特異な場合は、いずれにしろ、望みはありませんよね？(^^；)。

回答No.2

Water_5

「連立1次方程式のGauss掃出し法」は今ははやりません。
何故なら未知数２０個の場合、２０連立方程式になります。

これを掃き出し法でやると、計算が複雑になるのはともかくとして、誤差の問題が出てきます。

出てきた答えが、誤差のため真値からかけ離れた値が
出てきます。未知数の個数に比例して誤差が大きくなると言う
論文もあったような気がします。これでは使いづらいですね。

今現在、主流なのは偏微分方程式を近似的に解くやり方です。
これだと、出てきた答えを元の連立方程式に代入してやれば
真値かどうか確認でき、殆ど真値であることが確認されております。

補足

頭が古いせいか、連立1次方程式と偏微分方程式の関連が想像できなかったのですが、次のような事でしょうか？。

(1)任意の連立1次方程式について、対応する偏微分方程式を指定する方法がある．

(2)逆に偏微分方程式を数値的に解く場合、昔は系を（最も単純には）局所線形化して連立1次方程式に引き直し、近似解を得てましたが、今では別の方法がみつかり、そうしなくて良くなった．

　あなたの仰る方法を紹介している文献やサイトがあれば、初耳なので教えて下さい。

回答No.1

Water_5

、64bitCPU×1，とは具体的にどんなCPUですか？
AMDのAthlone６４ですか？

IntelのCore　i７等は32bitCPUをサポートした64bitCPUと
言うことになります。

それ故、32bit版コンパイルしても使えるし、64bitコンパイル
しても走ります。正しい結果が出ます。

Intelが両方使えるようにデザインしてあるのです。

32bitCPU×2のマシンと解釈しているかどうかはわかりません。

64bitレジスターのうち、左半分の32bitレジスターを使っていることはわかりますが、そのとき右半分の32bitレジスターも
使っているかどうかがわかりません。

もしそうなら、DualCPUもどき、DualCoreもどきになって
処理速度は2倍になりますね。

ベンチマークテストをやり確認してみては？

補足

回答ありがとうございます。

　CPUはIntelで、じつはQuad Coreです。「Core　i７」などはどこで調べればわかるでしょうか？。

＞もしそうなら、DualCPUもどき、DualCoreもどきになって処理速度は2倍になりますね。

　結果から判断してというのは、実際にベンチマークテストをやってみた結論です。

　32bitを対象としてプログラムをコンパイルし、32bitDualCoreのCPU×2（Intelかどうか現状ではわかりません）で同じ計算をやらせてみると、2倍は速くなりませんが、3割程度速くなるものの、計算時間の結果は不安定になります（時々、2倍程度時間がかかったりする）。この結果は、同じインストールを64bitQuadCoreCPU×1で実行させた場合と、ほぼ同じでした。

　アルゴリズムの検証なので、それでは困るわけです。64bitを対象としてプログラムをコンパイルし、Intel64bitQuadCoreCPU×1でやらせると結果は安定するので、とりあえず困ってはいないのですが、要するにそうなる原因の確認が欲しい、というところです。