アルキメデス 平面充填形

質問

大学一年生、数学科です。

アルキメデスの平面充填形のうち[ p1,p2,p3,p4]型のものは、[3,6,3,6][3,4,6,4][4,4,4,4]のいずれかに限ることを示せ。

[p1,p2,p3]型は授業でやったのですが[p1,p2,p3,p4]型の示し方が分かりません(--;)
教えてください。

回答No.2

CC_T · ベストアンサー

数学系は取っていなかったのでお求めの答えに沿っているかは分からないですが・・・

平面充填ですから、ｐ1 ～４の４つの正多角形が１点を取り囲むという形になります。
そうすると４つの多角形の内角の合計が360°となる、すなわち
１／ｐ1 ＋１／ｐ2 ＋１／ｐ3 ＋１／ｐ4 ＝１
の十分条件を満たす必要があります。
また、多角形で頂点の数３未満は有り得ないですから、ｐｉは３以上の整数ってのがもう一つ絶対条件としてありますね。

この２条件を満たす整数の組み合わせを求めてみると、
[3,3,4,12]　[3,4,3,12]　[3,3,6,6]　[3,6,3,6]　[3,4,4,6]　[3,4,6,4]　[4,4,4,4]
の７種が求まるはずです。
※内角が最小である３角形がゼロだとすると、正方形４つの組み合わせしか存在しない。
　３角形が１つだけとすると、4,4,6との組み合わせのみ。
　３角形が２つなら4、１２との組み合わせか、６，６との組み合わせのみ。
　３角形が３つだと残る１つの内角が180°になりＮＧ。

このうち[3,6,3,6][3,4,6,4][4,4,4,4]以外は、頂点の形が1つにならない充填になるので、”頂点形状が一定な平面充填形”である「アルキメデスの充填形」としての必要条件を満たせないため除外です。
（これは実際に描いてみるなどしないと判断できなかったはずですが…）

回答No.1

Tacosan

その「授業でやった」とかいう [p1,p2,p3]型がどういう方針なのかは知らんけど, 所詮こんなものは可能性をしらみつぶしで当たればいい.