放物線 直線

質問

直線y=x/aと放物線y=(x-a)^2との交点をPとQとする
aが正の整数1、2、3、・・・の値をとって変わるとき、弦PQの長さの整数部分を求める問題です

弦PQ=√(4+(5/a^2)+(1/a^4))なのはわかったのですが、これからどうすればよいのでしょうか？

回答No.8

yyssaa · ベストアンサー

ax^2-(2a^2+1)x+a^3=0の解をA、Bとすると
a(x-A)(x-B)=a{x^2-(A+B)x+AB}=0から
(A+B)=(2a^2+1)/a
AB=a^2
PQ^2=(A-B)^2+(A/a-B/a)^2=(A-B)^2(a^2+1)/a^2
ここで(A-B)^2=(A+B)^2-4AB=(2a^2+1)^2/a^2-4a^2
={(2a^2+1)^2-(2a^2)^2}/a^2=(4a^2+1)/a^2
よって
PQ^2=(4a^2+1)(a^2+1)/a^4=(4a^4+5a^2+1)/a^4
=4+5/a^2+1/a^4
y(a)=4+5/a^2+1/a^4としてy-a曲線を考えると
y'=-10/a^3-4/a^5=-(10a^2+4)/a^5から
aが正の整数であれば、y(a)はaの減少曲線であり、
a=1で最大値ymax=4+5+1=10をとり、
a→∞でy(a)→4となるので、4＜y(a)≦10。
PQ=√y(a)なので、その整数部分は3及び2。・・・答え

お礼

新しい観点です
ありがとうございました

回答No.1

suko22

a=1から順に当てはめていきます。

やってみますね。
a=1のときＰＱ＝√（4+5+1+）＝√10＝3、・・・よって整数部分は3
　　　　　　　　　　　　　　　　　（∵√9＜√10＜√16から√10は3.・・・とわかる）
a=2のときＰＱ＝√（4+5/4+1/16）＝√｛（64+20+1）/16｝＝√85/4＝9.・・・/4＝2.・・・よって整数部分は2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（∵√81＜√85＜√100）
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a=∞のときＰＱ＝√4＝2（∵5/∞→0、1/∞→0）←正確な表記ではないけどイメージできますよね。

よって、a=1のとき整数部分は3、a≧2のとき整数部分は2・・・答え

お礼

よく分かりました
ありがとうございました

ただNo.2さんの回答だと単調減少であることとかを示さなきゃならないらしいのですが・・・