3点を通る円弧の長さを求めたい（再）

質問

お世話になります。
添付画像をつけわすれていたため、再度の質問となります。
前回分を締切りますので、大変申し訳ございませんが、こちらでご回答をお願いします。
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添付画像にあるように、長方形の上部両端と下部中央を通る円弧（赤色部分）の長さを知りたいのですが、どのような計算式を用いればいいでしょうか？
現在、Adobe illustratorでフリーのスクリプトを使用して計算していますが、仕事上大量のパターンを出さなければならないことがありますので、Excelの計算式で処理したいと考えています。
ご存知の方がおられましたら、ご回答のほどよろしくお願いします。

回答No.1

noname#160007 · ベストアンサー

Excelで

長方形の横の長さ＝線分ABの長さをセル A1 に入れます。
長方形の縦の長さをセル A2 に入れます。

式「 =A1^2/8/A2+A2/2 」をセル A3 に入れます。
これが円の半径です。

なんとなれば
長方形の横の長さを a，縦の長さ b，半径を r とすると
ピラゴラスより
r^2 = (a/2)^2 + (r-b)^2
これを解いて
r = a^2/8b + b/2
だからです。

式「 =ACOS((A3-A2)/A3) 」をセル A4 に入れます。
これは点A・点Bを通る扇形の中心角の1/2（単位ラジアン）です。
円の中心をOとすると、∠AOC がセル A4 の値となります。

式「 A3*A4*2 」をセル A6 に入れます。

セル A6 の値が円弧 ACB の長さとなります。

ただし、円の中心が正方形の上辺より上にある場合のみを想定しています。

お礼

ご回答ありがとうございます。
解決しました!

回答No.5

ferien

ANo.4です。少し訂正です。

単位をラジアンにすると、（Excelでの単位がラジアンなので）
１８０度＝１８０×（π／１８０）＝πだから、、
弧ＡＣＢ＝π√（ａ^2＋ｂ^2）×（１／π）×arctan（ａ／ｂ）
＝√（ａ^2＋ｂ^2）×arctan（ａ／ｂ）

になります。どうでしょうか？

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.4

ferien

長方形で、Ａの真上をＤ，Ｂの真上をＥとする。
ＡＢ＝ａ，ＤＡ＝ｂ，円の中心をＯとする。
長方形ＤＡＢＥの対角線が円の直径になるから、半径ｒ＝(1/2)√（ａ^2＋ｂ^2）
∠ＡＤＢ＝αとおく。
∠ＡＤＢは、弧ＡＢに対する円周角だから、∠ＡＯＢは中心角で、∠ＡＯＢ＝２α
△ＤＡＢは直角三角形だから、tanα＝ＡＢ／ＤＡ＝ａ／ｂ
弧ＡＣＢ＝２×π×ｒ×（２α／３６０）
＝２×π×(1/2)√（ａ^2＋ｂ^2）×（２α／３６０）
＝π√（ａ^2＋ｂ^2）×（α／１８０）
α＝arctan（ａ／ｂ）より、
よって、
弧ＡＣＢ＝π√（ａ^2＋ｂ^2）×（１／１８０）×arctan（ａ／ｂ）

Excelで、arctan（ａ／ｂ）が計算できるので、求められると思います。
図を描いて確認してみて下さい。

回答No.3

178-tall

とりあえず、A-B 間幅 W、C より AB への高さ H 、からスタート。

まず、半径 r を求める。
r = H+a とするとピタゴラスにより、
　r = H+a = √{(W/2)^2 + a^2}
が成立つから、
　a = {(W/2)^2 - H^2}/(2H)
つまり、
　r = H+a = H + {(W/2)^2 - H^2}/(2H)

さらに、円中心から A と C を見込む円周角φを、余弦定理により、
　cos(φ) = 1 - {(W/2)^2 + H^2}/(2r^2)
から得る。

円弧 A-C-B の長さは、2φr 。
(適応範囲は割愛)

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.2

asuncion

3点の座標は、どのようにして与えようとしているのでしょうか。