3点を通る円弧の長さを求めたい

質問

お世話になります。
添付画像にあるように、長方形の上部両端と下部中央を通る円弧（赤色部分）の長さを知りたいのですが、どのような計算式を用いればいいでしょうか？
現在、Adobe illustratorでフリーのスクリプトを使用して計算していますが、仕事上大量のパターンを出さなければならないことがありますので、Excelの計算式で処理したいと考えています。
ご存知の方がおられましたら、ご回答のほどよろしくお願いします。

回答No.6

Willyt

長方形の横の長さを a 　縦の長さを b としましょう。　円弧の中心から横の辺に向って垂線を立てると当然横の辺の中点Ｍを通過して円弧に届きます。円弧の中心をＯ、　垂線と円弧の交点を P とすると　ＡＰは　半径　ｒ となりまます。ＰＭ=ｂ/2 OＰ=r で
す。横の辺ＡＢとし、三角形ＡＢＯが作る中心角ＡＯＢを 2θとします。すると

rsinθ=a/2
r(1-cosθ）= b/2

という式が立ちます。上式を下式に代入してｒを消去すると

a(1-cosθ）=bsinθとなり、これはθに関する方程式になりますから簡単に解けます。これより r　とθ が計算でき、
求める弧の長さは r・2θ　で計算できることになります。この場合、 (sinθ)^2+(coｓθ)^2=1 がピタゴラスの定理ですからこれを使って sinθを消去すると上式は cosθ に関する二次方程式ですから根の公式で容易に cosθが算出できますね。

お礼

ご回答ありがとうございます。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7671290.htmlにて、画像を添付して再投稿しました。
大変申し訳ありませんが、再度ご確認の上でご回答をおねがいできますでしょうか。

回答No.5

noname#160007

何度もすいません。
いろいろ勘違いしてました。
No.3とNo.4は無視して下さい。
ヒマがあったら後で回答します。

回答No.4

noname#160007

すいません間違いました。
下のNo.3の回答で
セル A6 に入れる式は
正しくは

=A4*(2*PI()-A5*2)

です。

回答No.3

noname#160007

Excelですと

長方形の横の長さをセル A1 に入力します。
式「=A1/2」をセル A2 に入力します。（横の長さの1/2）
長方形の縦の長さをセル A3 に入力します。
式「=SQRT(A2^2+A3^2)」をセル A4 に入力します。（円弧の半径）
式「=ATAN(A2/A3)」をセル A5 に入力します。（円弧の中心角の1/2：単位ラジアン）
式「=A4*A5*2」をセル A6 に入力します。

セル A6 の値が求める円弧の長さです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7671290.htmlにて、画像を添付して再投稿しました。
まだ、Excelを試してないのですが、確認をおねがいできますでしょうか。

回答No.2

178-tall

「添付画像」が見当たらず、当てずっぽですけど…。

長方形 W*H にて、「上部両端と下部中央を通る円」の半径を r とする。
ピタゴラスにより、
　r = H+a = √{(W/2)^2 + a^2}
が成立つから、
　a = {(W/2)^2 - H^2}/(2H)
つまり、
　r = H+a = H + {(W/2)^2 - H^2}/(2H)

さらに、上部片端と下部中央を見込む円弧角φは、余弦定理により、
　cos(φ) = 1 - {(W/2)^2 + H^2}/(2r^2)
から得る。

当てずっぽゆえ、とりあえずここまで。
見当違いのご指摘でも…。

お礼

ご回答ありがとうございます。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7671290.htmlにて、画像を添付して再投稿しました。
再度よろしくお願いします。

回答No.1

info22_

添付画像がないよ？

補足

ご指摘ありがとうございます。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7671290.htmlにて、再投稿しました。
よろしくお願いします。