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反転について

2004/01/30 14:45

円を反転すると円や直線になります。では、楕円や他の2次曲線を反転するとどうなるのか、教えてください。ヒントでも結構です。

ippei99
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数学・算数
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stomachman
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2004/02/08 19:01 回答No.4

No.3の加筆です。No.3の公式を検算するために、「円が反転によって円や直線に写る」ということを導いてみました。元の二次曲線を A(x^2)+Bxy+C(y^2)+Dx+Ey+F=0 と表すので、元の曲線が式 ((x-a)^2)+((y-b)^2)-(R^2)=0 で表される円の場合には (x^2)-2ax+(a^2)+(y^2)-2bx+(b^2)-(R^2)=0 より A=1, B=0,C=1,D=-2a, E=-2b, F=a^2+b^2-R^2 となります。だから、No.3により、その反転の曲線を表す式は (x^2+y^2)+Dx(x^2+y^2)+Ey(x^2+y^2)+F((x^2+y^2)^2)=0 です。 ●F≠0の場合、 (a^2)+(b^2)≠(R^2) なのだから、元の円は(x,y)=(0,0)を通ることはなく、いつでも(x^2+y^2)≠0です。よって反転の曲線を表す式は 1/F+(D/F)x+(E/F)y+(x^2+y^2)=0 と変形できます。x,yについて平方完成すると (x-D/(2F))^2+(y-E/(2F))^2=(D/(2F))^2+(E/(2F))^2-1/F が得られます。この右辺をρと書くと (F^2)ρ=(D^2)/4+(E^2)/4-F ここに D=-2a, E=-2b, F=a^2+b^2-R^2 を代入して (F^2)ρ=a^2+b^2-a^2-b^2+R^2 = R^2 であるから、反転の曲線を表す式は (x-a/F)^2+(y-a/F)^2=(R/F)^2, ただしF=a^2+b^2-R^2 となります。(R/F)^2は必ず正であるから、これは円です。 ●F=0の場合。 (x^2+y^2)+Dx(x^2+y^2)+Ey(x^2+y^2)=0 が反転の曲線を表す式です。このとき、 a^2+b^2=R^2 となるので、元の円は丁度原点を通っています。原点(x,y)=(0,0)については反転は定義されません。元の円周上のその他の点については(x^2+y^2)≠0なので、反転の曲線を表す式は 1+Dx+Ey=0 すなわち 1-2ax-2by=0 となります。これは直線ですね。というわけで、No.3のやり方で良いように思います。

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stomachman
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2004/02/08 04:44 回答No.3

原点を定点とする単位円による反転を考えるんですね。ある点の座標を極座標表示で(r,θ)（r>0)と表すと、その点の単位円による反転は極座標表示で(1/r,θ)に写る。ということは、直交座標(x,y)で曲線の方程式 f(x,y)=0 が書いてあるとき、その反転を求めるには (1) (x,y)に(r cosθ,r sinθ)を代入して、 (2) 出てきたrを全部1/rに置き換えれば、取り敢えず反転の曲線の方程式が得られることになります。それから、 (3) cosθ=x/r, sinθ=y/rを代入してθを消去し、 (4) さらにr=√(x^2+y^2)を代入したのが、反転の直交座標表示というわけです。で、(1)～(4)を一度にやるにはxとyをそれぞれ、x/(x^2+y^2), y/(x^2+y^2)で置き換えれば良い。二次曲線は直交座標系(x,y)を使って A(x^2)+Bxy+C(y^2)+Dx+Ey+F=0 で表されますから、その反転は A(x^2)/((x^2+y^2)^2)+Bxy/((x^2+y^2)^2)+C(y^2)/((x^2+y^2)^2)+Dx/(x^2+y^2)+Ey/(x^2+y^2)+F=0 となり、((x^2+y^2)^2)を両辺に掛けて A(x^2)+Bxy+C(y^2)+Dx(x^2+y^2)+Ey(x^2+y^2)+F((x^2+y^2)^2)=0 展開して A(x^2)+Bxy+C(y^2)+D(x^3)+Dx(y^2)+Ey(x^2)+E(y^3)+F(x^4)+F(y^4)+2F(x^2)(y^2)=0 という方程式を得ます。

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noname#24477

2004/01/31 00:45 回答No.2

たとえば単位円に関してｙ＝ｘ＾２を反転することを考えると（ｐ，ｐ＾２）を通る直線はｙ＝ｐｘ（ｐ＾２＋ｐ＾４）（ｘ＾２＋ｙ＾２）＝１これらの式からｐを消去してx,yの関係式を作ってみる。あまりきれいな式にはならない。２次曲線でないことだけは確かです。下のページで描いてみると感じはつかめるかも知れません。ただフリーハンドで描くのはけっこう難しい。探せばもうちょっとわかりやすいページがあるかも知れません。