ラプラス変換について

質問

y'(t)-3y(t)=100t*sint
y(0)=4
この初期値問題の解を教えてほしいんですが・・・。

回答No.5

keyguy · ベストアンサー

y(t)=10・exp(3・t)-6・cos(t)-8・sin(t)-30・t・sin(t)-10・t・cos(t)…(a)
答えがこれになったのですが、あってますか？：
(・のうちかたあってますか？)

検算は簡単です。
y(0)＝4になるか？
(a)のy(t)と(a)よりy'(t)を求めて
y'(t)-3・y(t)=100・t・sin(t)
に代入して正しいか？
以上あってますか？

以下積分範囲がt:-∞→∞の場合は省略する。

L(f(t))(s)=∫f(t)・exp(-s・t)・dtと定義する。
*を積でなく畳み込み積分として
L((f*g)(t))(s)=L(f(t))(s)・L(g(t))(s)…(0)
は明らか
部分積分により
L(f'(t))(s)=
∫f'(t)・exp(-s・t)・dt=
0-∫f(t)・(-s)・exp(-s・t)・dt=
=s・L(f(t))(s)
すなわち
L(f'(t))(s)=s・L(f(t))(s)…(1)
の公式が得られた。
L(f(t))(s)=∫f(t)・exp(-s・t)・dtの両辺をsで微分すると
L(f(t))'(s)=∫f(t)・(-t)・exp(-s・t)・dt
すなわち
L(t・f(t))(s)=-L(f(t))'(s)…(2)
の公式が得られる。
αを複素数とする。
L(exp(-α・t)・h(t))(s)=
∫exp(-α・t)・h(t)・exp(-s・t)・dt=
∫exp(-(α+s)・t)・h(t)・dt=
∫(t:0→∞)・exp(-(α+s)・t)・dt=1/(s+α)
すなわち
L(exp(-α・t)・h(t))(s)=1/(s+α)…(3)
の公式が得られた
この公式を使うと
L(sin(w・t)・h(t))(s)=
L(h(t)・(exp(j・w・t)-exp(-j・w・t))/2/j)(s)=
(L(h(t)・exp(j・w・t))(s)-L(h(t)・exp(-j・w・t))(s))/2/j=
(1/(s-j・w)-1/(s+j・w))/2/j=
w/(s^2+w^2)
すなわち公式
L(sin(w・t)・h(t))(s)=w/(s^2+w^2)…(4)
が得られた。
同じようにして
L(cos(w・t)・h(t))(s)=s/(s^2+w^2)…(5)
の公式が得られる。
すると公式(2)を使い
L(t・sin(w・t)・h(t))=
-(w/(s^2+w^2))'=2・w・s/(s^2+w^2)^2
簡単に導出されるのでこれは公式の扱いはやめよう。
これにより
W(s)=L(100・t・sin(t)・h(t))=200・s/(s^2+1)^2

なお式の整理で間違いがありました。書き直すと

問題式の両辺にh(t)をかけると
y'(t)・h(t)-3・y(t)・h(t)=w(t)・h(t)…(*)

(y(t)・h(t))'=y'(t)・h(t)+y(t)・δ(t)=y'(t)・h(t)+y(0)・δ(t)=y'(t)・h(t)+4・δ(t)
だから
y'(t)・h(t)=(y(t)・h(t))'-4・δ(t)
この式を(*)に代入して整理すると
(y(t)・h(t))'-3・(y(t)・h(t))=w(t)・h(t)+4・δ(t)
両辺を両側ラプラス変換して
L(y(t)・h(t))(s)=Y(s)とおけば
(s-3)・Y(s)=W(s)+4
すなわち
Y(s)=(W(s)+4)/(s-3)
単純に代入ミスですね。

Y(s)=(W(s)+4)/(s-3)は
Y(s)=(200・s/(s^2+1)^2+4)/(s-3)=
200・s/(s^2+1)^2/(s-3)+4/(s-3)=
Y(s)=10/(s-3)-6・(s+3)/(s^2+1)-20・(3・s-1)/(s^2+1)^2

(0)から
L(((cos・h)*(sin・h))(t))(s)=
L(cos(t)・h(t))(s)・L(sin(t)・h(t))(s)=
(s/(s^2+1))・(1/(s^2+1))=s/(s^2+1)^2
おなじく(0)から
L(((sin・h)*(sin・h))(t))(s)=
L(sin(t)・h(t))(s)・L(sin(t)・h(t))(s)=
(1/(s^2+1))・(1/(s^2+1))=1/(s^2+1)^2

結局0<tにおいて
y(t)=
10・exp(3・t)-6・(cos(t)+3・sin(t))-20・(3・((cos・h)*(sin・h))(t)-((sin・h)*(sin・h))(t))

なお
((cos・h)*(sin・h))(t)=
∫(τ:0→t)・cos(τ)・sin(t-τ)・dτ
((sin・h)*(sin・h))(t)=
∫(τ:0→t)・sin(τ)・sin(t-τ)・dτ
この計算はできるでしょうね？
結果を補足に

いままでどおりまちがいはあります。

お礼

わかりました。本当にありがとうございました。
検算して、答えもあっていたのでできました。
本当に助かりました。

回答No.4

keyguy

w(t)=100・t・sin(t)・h(t)の両側ラプラス変換
(w(t)=100・t・sin(t)の片側ラプラス変換)を求める。
以下積分範囲がt:-∞→∞の場合は省略する。

L(f(t))(s)=∫f(t)・exp(-s・t)・dtと定義する。
*を積でなく畳み込み積分として
L((f*g)(t))(s)=L(f(t))(s)・L(g(t))(s)…(0)
を補足に提示してください。
部分積分により
L(f'(t))(s)=
∫f'(t)・exp(-s・t)・dt=
0-∫f(t)・(-s)・exp(-s・t)・dt=
=s・L(f(t))(s)
すなわち
L(f'(t))(s)=s・L(f(t))(s)…(1)
の公式が得られた。
L(f(t))(s)=∫f(t)・exp(-s・t)・dtの両辺をsで微分すると
L(f(t))'(s)=∫f(t)・(-t)・exp(-s・t)・dt
すなわち
L(t・f(t))(s)=-L(f(t))'(s)…(2)
(右辺はtの関数でなくsのみの関数であることに注意)
の公式が得られる。
αを複素数とする。
L(exp(-α・t)・h(t))(s)=
∫exp(-α・t)・h(t)・exp(-s・t)・dt=
∫exp(-(α+s)・t)・h(t)・dt=
∫(t:0→∞)・exp(-(α+s)・t)・dt=1/(s+α)
すなわち
L(exp(-α・t)・h(t))(s)=1/(s+α)…(3)
の公式が得られた
この公式を使うと
L(sin(w・t)・h(t))(s)=
L(h(t)・(exp(j・w・t)-exp(-j・w・t))/2/j)(s)=
(L(h(t)・exp(j・w・t))(s)-L(h(t)・exp(-j・w・t))(s))/2/j=
(1/(s-j・w)-1/(s+j・w))/2/j=
w/(s^2+w^2)
すなわち公式
L(sin(w・t)・h(t))(s)=w/(s^2+w^2)…(4)
が得られた。
同じようにして
L(cos(w・t)・h(t))(s)=s/(s^2+w^2)…(5)
の公式が得られる。
すると公式(2)を使い
L(t・sin(w・t)・h(t))=
-(w/(s^2+w^2))'=2・w・s/(s^2+w^2)^2
簡単に導出されるのでこれは公式の扱いはやめよう。
これにより
W(s)=L(100・t・sin(t)・h(t))=200・s/(s^2+1)^2

なお式の整理で間違いがありました。書き直すと

問題式の両辺にh(t)をかけると
y'(t)・h(t)-3・y(t)・h(t)=w(t)・h(t)…(*)

(y(t)・h(t))'=y'(t)・h(t)+y(t)・δ(t)=y'(t)・h(t)+y(0)・δ(t)=y'(t)・h(t)+4・δ(t)
だから
y'(t)・h(t)=(y(t)・h(t))'-4・δ(t)
この式を(*)に代入して整理すると
(y(t)・h(t))'-3・(y(t)・h(t))=w(t)・h(t)-4・δ(t)
両辺を両側ラプラス変換して
L(y(t)・h(t))(s)=Y(s)とおけば
(s-3)・Y(s)=W(s)+4
すなわち
Y(s)=(W(s)+4)/(s-3)
単純に代入ミスですね。

Y(s)=(W(s)+4)/(s-3)は
Y(s)=(200・s/(s^2+1)^2+4)/(s-3)=
200・s/(s^2+1)^2/(s-3)+4/(s-3)=
Y(s)=10/(s-3)-6・(s+3)/(s^2+1)-20・(3・s-1)/(s^2+1)^2

(0)から
L(((cos・h)*(sin・h))(t))(s)=
L(cos(t)・h(t))(s)・L(sin(t)・h(t))(s)=
(s/(s^2+1))・(1/(s^2+1))=s/(s^2+1)^2
おなじく(0)から
L(((sin・h)*(sin・h))(t))(s)=
L(sin(t)・h(t))(s)・L(sin(t)・h(t))(s)=
(1/(s^2+1))・(1/(s^2+1))=1/(s^2+1)^2

結局0<tにおいて
y(t)=
10・exp(3・t)-6・(cos(t)+3・sin(t))-20・(3・((cos・h)*(sin・h))(t)-((sin・h)*(sin・h))(t))

なお
((cos・h)*(sin・h))(t)=
∫(τ:0→t)・cos(τ)・sin(t-τ)・dτ
((sin・h)*(sin・h))(t)=
∫(τ:0→t)・sin(τ)・sin(t-τ)・dτ
この計算はできるでしょうね？
結果を補足に

いままでどおりまちがいはあります。

補足

y(t)=10exp(3・t)-6・cos・t-8・sin・t-30t・sin・t-10t・cos・t
答えがこれになったのですが、あってますか？

回答No.3

keyguy

1つ間違いがありました。

w(t)=100・t・sin(t)としNo.1の答えをW(s)とする。

問題式の両辺にh(t)をかけると
y'(t)・h(t)-3・y(t)・h(t)=w(t)・h(t)…(*)

(y(t)・h(t))'=y'(t)・h(t)+y(t)・δ(t)=y'(t)・h(t)+y(0)・δ(t)=y'(t)・h(t)+4・δ(t)
だから
y'(t)・h(t)=(y(t)・h(t))'-4・δ(t)
この式を(*)に代入して整理すると
(y(t)・h(t))'-3・(y(t)・h(t))=w(t)・h(t)-4・δ(t)
両辺を両側ラプラス変換して
L(y(t)・h(t))(s)=Y(s)とおけば
(s-3)・Y(s)=W(s)-4
すなわち
Y(s)=(W(s)-4)/(s-3)
これをラプラス逆変換すればよい。

なおラプラス逆変換は
・留数を利用する方法
・ラプラス変換表を利用する方法がある。

変換表は2,3分で作れるので必ずしも覚える必要はない。

お礼

ありがとうございます。
でも、私のやり方だと
y'(t)-3y(t)＝100t*sint
y(0)=4
このときの初期値問題の解は
（ｓY-4)-3Y=2*100s/(s~2+1~2)~2
よって
Y=4/(s-3)+200s/(s~2+1~2)~2(s-3）
右辺を部分分数すると
Y=(-60s+20)/(s~2+1~2)~2+(-6s-18)/(s~2+1~2)+10/(s-3)
ここまではできたのですが、これをラプラス逆変換するのができないのですが。。

回答No.2

keyguy

w(t)=100・t・sin(t)としNo.1の答えをW(s)とする。

問題式の両辺にh(t)をかけると
y'(t)・h(t)-3・y(t)・h(t)=w(t)・h(t)…(*)

(y(t)・h(t))'=y'(t)・h(t)+y(t)・δ(t)=y'(t)・h(t)+y(0)・δ(t)
だから
y'(t)・h(t)=(y(t)・h(t))'-y(0)・δ(t)
この式とy(0)=4を(*)に代入して整理すると
(y(t)・h(t))'-3・(y(t)・h(t))=w(t)・h(t)-4・δ(t)
両辺を両側ラプラス変換すると
L(y(t)・h(t))(s)=Y(t)とおけば
(s-3)・Y(s)=W(s)-4
すなわち
Y(s)=(W(s)-4)/(s-3)
これを逆ラプラス変換すればよい。

回答No.1

keyguy

h(t)=0　(t<0)
h(t)=1　(0<t)
h(0)=任意値
とし
∫(t:-∞→∞)・f(t)・exp(-s・t)・dt=L(f)(s)
とかくとき
L(100・t・sin(t)・h(t))(s)はどうなるでしょうか？