行列の等式と成分（HC定理利用）
A=(a b c d)とする。A＾２=Aとなるとき、a,b,c,dの満たすべき必要十分条件を求めよ。
行列Aについて、ハルミトン・ケーリーの定理から
A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O
すなわち、A＾２=(a+d)A-(ad-bc)Eが成り立つ。
A^2=Aとなるとき (a+d)A-(ad-bc)E=A
ゆえに{1-(a+d)}A+(ad-bc)E=O
[1]a+d=1のとき (ad-bc)E=O
よってad-bc=0
[2]a+dnot=1のときA=(ad-bc/a+d-1)E
ゆえに,(ad-bc/1a+d-1)=とおくと A=kE
これをA^2=Aに代入して整理すると k(k-1)E=O
よってk(k-1)=0 ゆえにk=0,1
よってA=OまたはA=E
A=Oのとき a=b=c=d=0
このとき,a+d=0となり,a+dnot=1を満たす。
A=Eのとき a=d=1,b=c=0
このとき,a+d=2となり,a+dnot=1を満たす。
[1],[2]から a+d=1,ad-bc=0;またはa=b=c=d=0;またはa=d=1,b=c=0
教えてほしいところ
まず、僕の考え方を述べます。
A^2=Aのa,b,c,dの満たすべき必要十分条件を考えたい。
A＾２=(a+d)A-(ad-bc)Eより、
A＾２=A
⇔(a+d)A-(ad-bc)E=A
⇔{1-(a+d)}A+(ad-bc)E=O
よって、{1-(a+d)}A+(ad-bc)E=Oの満たすべきa,b,c,dの必要十分条件をもとめればよい。
ｋ、ｓ、ｔを実数、Eを単位行列とする。
正方行列Aに対して sA+tE=O⇔s=t=0またはA=kEより、
s=t=0,またはA=kEとなるような、a,b,c,dの必要十分条件をもとめればよい。
よって[1]a+d=1のとき (ad-bc)E=O
よってad-bc=0
[2]a+dnot=1のときA=(ad-bc/a+d-1)E
ゆえに,(ad-bc/1a+d-1)=とおくと A=kE
よって、a+dnot=1または、a+d=1、ad-bc=0と考えました。
そこで質問です。a+dnot=1のとき、 A=kEとあらわせるのでそれ以上a,b,c,dの関係式は必要ないんじゃないんですか？？？
お礼
ご回答ありがとうございます。 新規プロファイルを作成し、操作試してみましたが駄目でした。 今バージョンの仕様ということであれば、望みは薄いですが対処できるアドオンが出るのを待つぐらいでしょうかね・・・
補足
自己解決しました。 すっかりFireFoxを最新verに上げたことが原因だと思い込んでいましたが、同時にアップデートしていたFlashPleyerが原因で、前verに戻すことで解決することが出来ました。 プロファイル再作成を試し、FireFoxの設定が原因では無いことが分かったため、解決に辿り着くことができました。 どうもありがとうございました。 ※この捕捉はお礼コメント後の投稿です