定積分と不等式について

質問

定積分と不等式について教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

NemurinekoNya

(1)
k > 0
[k,k+1] では
1/x <= 1/k　　　　　　　　（1/xは、この区間で減少関数だから)
よって、
∫[k,k+1](1/x)dx ≦　∫[k,k+1](1/k)dx　= 1/k　　　　　（a）
また、
Σ∫[k,k+1](1/x)dx ＝　∫[1,k+1](1/x)dx = log(n+1)
(a)より
log(n+1) = Σ∫[k,k+1](1/x)dx　≦　Σ(1/k) = 1/1 + 1/2 + … + 1/n

Σは、k=１～nまでの和の意味。∫[k,k+1]はkを始点、k+1を終点とする、定積分の意味。

(2)は(1)の結果を使えば出るわさ。
log(n+1) < 1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n
n→∞　log(n+1) →∞
よって、
級数は発散する