期待値

質問

白球と赤球がそれぞれ5個ずつ計10個と、白箱て赤箱がそれぞれ5箱ずつ計10箱とがある
10箱の各箱に1球ずつ無作為に入れるとき、箱とその中に入っている球の色が一致している箱の個数の期待値を求めよ

同じ色の箱に入るを1、同じ色の箱に入らないを0とすると白球が白箱に入る期待値が1/2だから10球で期待値は1/2×10＝5というのは合ってるのでしょうか？1回ごとの期待値をn回足せばn回の期待値になるという定理があるから正しいのでしょうか？

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

泥臭く解いてみました。

箱の位置は横並びで、左から白５個、赤５個とします。
この10個の箱に10個の区別できる球を入れる入れ方は
10P10

10箱に入る球の色パターンは数は

1) 白箱に白玉5個、赤箱に赤玉5個 (5C5)^2 = 1 一致個数 10
2) 白箱に白玉4個、赤箱に赤玉4個 (5C4)^2 = 25 一致個数 8
3) 白箱に白玉3個、赤箱に赤玉3個 (5C3)^2 = 100 一致個数 6
4) 白箱に白玉2個、赤箱に赤玉2個 (5C2)^2 = 100 一致個数 4
5) 白箱に白玉1個、赤箱に赤玉1個 (5C1)^2 = 25 一致個数 2
6) 白箱に白玉0個、赤箱に赤玉0個 (5C0)^2 = 1 一致個数 0

1)～6) の各パターンでの場合の数は、赤玉と白玉の位置が決まっているので
赤の入れ方 5P5 X 白の入れ方 5P5 = (5P5)^2

従って期待値は
((5C5)^2・10+(5C4)^2・8+(5C3)^2・6+(5C2)^2・4+(5C1)^2・2+(5C0)^2・0)・(5P5)^2/10P10
=(1260)・5P5/10P5 = 1260 / 252 = 5

計算の具合からして組み合わせでも解けそうですが、各場合の確率が等しいことを
示すのがめんどくさそう。

>同じ色の箱に入るを1、同じ色の箱に入らないを0とすると白球が白箱に入る期待値が1/2だから

何かうまい手があってこの理屈を展開できるような気がするのですが、うまい裏付けが
思いつかないです。不勉強なだけかも(^^;

補足

別の回答ありがとうございます
区別できる球を入れる入れ方が全体なのに、
「白箱に白玉5個、赤箱に赤玉5個 (5C5)^2 = 1」では5Ｃ5という区別しない方法になっているのは何故でしょうか？