離職日の翌日から１年間の中で、基本手当や再就職手当などをまったく受給せずに再就職した場合は、前の会社での被保険者であった期間と再就職後の被保険者期間が通算されます。
ただしこれは所定給付日数を算出するときの被保険者期間ですので間違わないようにしてください。
失業給付の受給資格については下記のようなものです。
１．正当な理由のない自己都合（特定受給資格者及び特定理由離職者以外）では離職の日以前２年間に賃金支払基礎日数が１１日以上の被保険者期間１２ヵ月以上あること、給付制限あり
２．正当な理由のある自己都合で特定受給資格者及び特定理由離職者以外は離職の日以前２年間に賃金支払基礎日数が１１日以上の被保険者期間１２ヵ月以上あること、給付制限なし
３．正当な理由のある自己都合で特定理由離職者２は離職の日以前１年間に賃金支払基礎日数が１１日以上の被保険者期間６ヵ月以上あること、給付制限なし
４．会社都合（特定受給資格者）では離職の日以前１年間に賃金支払基礎日数が１１日以上の被保険者期間６ヵ月以上あること、給付制限なし
５．労働契約期間の満了（働く側が更新を希望した場合）で特定理由離職者１は離職の日以前１年間に賃金支払基礎日数が１１日以上の被保険者期間６ヵ月以上あること、給付制限なし（所定給付日数は３年限定で特定受給資格者と同じ）
＞その場合失業手当てはどうなるのでしょうか？
もし4ヶ月後に自分から止めた場合もどうなるのでしょうか？
退職理由によって離職の日以前２年間あるいは１年間に賃金支払基礎日数が１１日以上の被保険者期間１２ヶ月あるいは６ヵ月以上あることが受給条件になります（退職理由は直近の退職理由が採用されます）。
また
＞今月一杯で、派遣社員としての2年間の期間満了が終わります。
＞来月（派遣期間満了の次の日から）から派遣としてではなく、直接雇用の期間社員として働く予定になっていますが、期間社員の更新が4ヶ月ごとになり、4ヶ月後に更新がないこともあると言われました。
ということであれば失業給付を受けるためには前者の派遣社員として、それと後者の直接雇用の期間社員としての２枚の離職票が必要ですので気を付けてください。
お礼
初めて知りました。とても参考になりました。ありがとうございました。