きれいなsin波形の電波の作り方

質問

sin波形の電波の作り方

マクスウェル方程式を学習して、電磁波の仕組みが少しわかりました。

・電界の時間変化（微分）によって磁界が発生する。
・磁界の時間変化（微分）によって電界が発生する。
・電界や磁界が時間に対して正弦波の場合は、2回微分すると元に戻るので、
　電界が変化→磁界が変化→電界が変化→・・・が延々と続く。これが電磁波。

と理解しました。

そこで質問です。

正弦波以外の波形（ノコギリ波、矩形波など）だと、微分すると形がくずれて、あまり遠くまで飛ばない、という理解は合っていますでしょうか。

合っている場合、以下の２つは、どのようにしてそのようなきれいな正弦波を作り出しているか、教えていただけませんでしょうか。
(i) 地球まで届く、何万光年も離れた星が放つ光（電磁波）
(ii) 人工衛星や宇宙船と地球の交信に使われる、人工的な信号

よろしくお願いいたします。

回答No.5

my3027 · ベストアンサー

>「だから三角関数なら往復して元に戻る。これが電磁波」という説明がある本に書いてありました。
そうであれば三角関数が連続性の概念から一番との理解で良いのではないでしょうか。

お礼

他のいろんな本をあたってみましたところ、自己解決しました。

電界Eがsin(ωt-kx)だとすると、質問時の私の理解だと磁界Hはcos(ωt-kx)ということになりますが、実際の電磁波は、sinのようです。
ただし振幅がsqrt( ε/ μ ) 倍されて、向きが電界と直交する向きになります。
ノコギリ波や矩形波も同様で、波形は変わりません。

理由は、私が距離の微分と時間の微分を混同していたことにありました。
2つの式を微分形式で表現すると
「電界を時間で微分したものは、磁界を距離で微分したものに等しい」
「磁界を時間で微分したものは、電界を距離で微分したものに等しい」
となりますし、一方を他方に代入すると波動方程式が得られ、その解（ダランベールの解）は任意の進行波となりました。

何かコメントがありましたらいただけると幸いです。
少し待ってみて、特になければこの質問はクローズします。

ありがとうございました。

回答No.6

my3027

私は電磁気学は専門ではありませんので、質問者さんの結論が正しいか分かりません。

ただ、時間微分と距離微分の違いに気が付いた様に、ベクトル解析についても勉強されればより物理的理解が深くなるのではと思います。がんばって下さい。

お礼

お礼が遅くなって申し訳ありません。ご回答ありがとうございました。

回答No.4

my3027

> 最も伝播され安い形態
これが正弦波であるかは私には？です。d(sinx)/dx=cosx, d(cosx)/dx=-sinxで±が逆になります。それに対して双曲線関数(例：sinhx)は±が逆転はしないのでそちらの方が良いのでは？

>自然界でこれが作られる理由
私には上手く説明できません。自然が数学で表現出来るのと同じ位不思議な事かもしれません。

お礼

お礼が遅くなって申し訳ありません。ご回答ありがとうございました。

補足

> ±が逆になります。

説明不足でした。マクスウェル方程式は、

∫ E dr = - μd (∫H dS ) / dt
∫ H dr = εd (∫E dS) / dt

と、上の方の式の右辺にはマイナスがついています。

「だから三角関数なら往復して元に戻る。これが電磁波」
という説明がある本に書いてありました。

一瞬「なるほど」と思ったのですが、「ん？ちょっと待てよ」
と思って質問させていただいている次第です。

回答No.3

my3027

私は電磁気学は詳しくありませんので参考に。

>正弦波以外の波形（ノコギリ波、矩形波など）だと、微分すると形がくずれて、あまり遠くまで飛ばない、という理解は合っていますでしょうか。
数学的には微分が他の現象に影響するとした場合、ノコギリや矩形波は微分出来ない特異点やδ関数になる場合は次の微分は不可能になるので伝播することは出来ないという理解で良いのではないでしょうか？フーリエ級数でどの様な波長も表現出来るというのは確かですが、一方矩形波の角は重ね合わせが多い程ギブス現象で微分出来ないkinkが出来ます。そういう意味でも、やはり矩形波というのは微分出来ない部分があるのは確かだと思います。

>(i) 地球まで届く、何万光年も離れた星が放つ光（電磁波）
正弦波だけが出来て伝わってくるというより、自然光の様にあらゆる波長、形態のが放射され、最も伝播され安い形態が残って伝播されてくると考えたほうが良いのでは?
>(ii) 人工衛星や宇宙船と地球の交信に使われる、人工的な信号
わかりません。詳しい方の解答があれば良いですね。

お礼

お礼が遅くなって申し訳ありません。ご回答ありがとうございました。

補足

ご回答ありがとうございます。
No.2さんのご回答に対して書かせていただいた
補足について、何かコメントがあれば
いただけるとうれしいです。

> 最も伝播され安い形態

というのが、正弦波以外にありえないように思うんです。
そうだとするとそんなきれいな正弦波が自然界から発生するというのが不思議です。

回答No.2

rnakamra

#1のものです。

>合成したものであっても、グラフの形状としては、例えばノコギリ波は直線だけで構成されているので、1回微分すれば定数が繰り返される周期関数と同じ形状になり、2回微分するとゼロになってしまうと思います。どう考えればよいでしょうか？

そうはなりません。
ノコギリ波にしても矩形波にしてもそもそも微分できない瞬間があるではないですか。
そこがある限り"2回微分するとゼロ"とはなりません。
微分できない瞬間はどのようになるのでしょうか。一瞬で変化するので微分係数は無限大にでもなるのか、その瞬間に磁場もしくは電場が無限に大きくなるのか?
もし、一瞬でも極端に磁場大きくなるとその影響は次の瞬間にはゼロになってしまうのでしょうか?

微分可能でない変化に対して考えることは取扱上非常に面倒なため、微分可能な周期関数の和に分解して取扱できるようにすることがフーリエ級数展開の利点です。
1回微分してゼロになる領域も複数の正弦波の重なりとなって結果微分係数がゼロになっていると考えればよいのです。

お礼

すみません、訂正です。

> y = x^2 - 1 (0≦x≦1, 3≦4)
> y = -(x - 2)^2 + 1 (1≦x≦3)

は、

> y = x^2 - 1 (0≦x≦1)
> y = -(x - 2)^2 + 1 (1≦x≦3)
> y = (x - 4 )^2 - 1 (3≦4)

の間違いです。

補足

お礼が遅れて申し訳ありません。
ご回答をいただいてからいろいろ考えているのですが、
今だによくわかりません。。

ではノコギリ波ではなく、例えば、

y = x^2 - 1 (0≦x≦1, 3≦4)
y = -(x - 2)^2 + 1 (1≦x≦3)

が周期4で繰り返されるような波ならいかがでしょうか？
微分可能で、二次関数ですので3回微分するとゼロになります。

時間に対してこのような波形で電荷を振動させたとすると、
電磁波は遠くまで伝わるのがどうかが知りたいです。
伝わるでしょうか？伝わらないでしょうか？

回答No.1

rnakamra

ノコギリ波や矩形波はその振動数と整数倍の振動数の正弦波と余弦波を合成したものになります。
詳しくはフーリエ級数を勉強すればわかるでしょう。

完全な真空であればどんな振動数の正弦波も同じ速度、同じ減衰率(波が拡散するため振幅は距離が離れるほど小さくなります)で伝わるため、合成すると同じ形の波が得られます。

しかし、空気中等では振動数が変わると電磁波の伝搬速度は変化し、空気での吸収などもあるため減衰率も振動数に依存して変化します。
この場合、離れた場所で電磁波を受け取ると波形が大きく変わってしまうことになります。

お礼

お礼が遅くなって申し訳ありません。ご回答ありがとうございました。

補足

>　ノコギリ波や矩形波はその振動数と整数倍の振動数の正弦波と余弦波を合成したものになります。

合成したものであっても、グラフの形状としては、例えばノコギリ波は直線だけで構成されているので、1回微分すれば定数が繰り返される周期関数と同じ形状になり、2回微分するとゼロになってしまうと思います。どう考えればよいでしょうか？