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高校数学をやり直す方法とは？
- 私文大学3年が高校数学をやり直したい理由とその方法について紹介します。
- 数学の意義や数学哲学について、社会科学の視点から考えることの難しさについて述べます。
- 高校数学の克服方法として、微積やベクトルの意義、数学の系統について考える必要があることを説明します。
- CHUCK-BERRY
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- 数学・算数
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高校までの数学は、いわば、なじみの対象（数、式、図形など）を決まったやり方で操作する基本的なスキルを学ぶもので、実際、大抵の現場で必要とされる操作スキルのほとんどは高校数学までで間に合ってしまいます。喩えると、レシピ通りにやれば昼ご飯ぐらい作れる、という程度のことであって、それも出来ないなら外食で済ませてもなんとかなります。つまり、（それなりのコストと引き替えに）誰かにやってもらうんですね。 > 文字や条件をつかったり、なんか抽象的 数学は数の計算だと思っていらっしゃるんではないでしょうか。数学が扱うのはもちろん数ばかりじゃありませんで、あらゆる「構造」を扱うんです。それも個別の構造物の実体ではなく、その抽象こそが対象です。では「抽象された構造」はどこにあるのかというと、純粋に言葉の上にだけ存在する。 つまり、数学は言葉の学問です。しかも、数学は言葉だけで閉じた体系です。というのは、「わずかな言葉の束と文法によって言語（文を生成する体系。なお、数式は文の一部分です）を定める。このとき、この言語に最初から（暗に）含意されていた文を発掘する」というイトナミ、と見なすことができるからです。このため、それらの言葉の意味は現実からの連想に頼ることなく定義され、あるいは意味は一切定義せずに、ただその言葉を扱う文法規則だけが宣言されます。こうしてラジカルに自己完結することによって、数学は現実とは縁を切ってる。だからこそ証明ということが可能になるのです。ここが、いくらエラソな理屈を述べても現実に反証されればそれで終わりの科学とは著しく違う所です。 論理の一部は、（ぐだぐだな文章の「論理」とは違って）十分に抽象的で、有限の規則の組として整備されています。そして、さらにそのごく基本的な部分（命題論理と一階述語論理、および若干の論理図式）は、数学の基礎（初歩ってことじゃなく、文字通り数学という構造物の礎）として使われていますし、数学の中での論証の唯一の道具でもあります。ところが、逆に論理自体も（構造ですから）数学の対象にできます（数理論理学）。この手を使うと、単に「ある言明が真かどうか」というだけではなく、たとえば「誰がどう思っているか」「誰がどう思っているかを誰が知っているか」といった少々複雑な論理を扱う体系（様相論理、非古典論理）を発展させ、その性質や体系同士の関係を数学で調べることができる。（社会科学で広く応用できるツールになるだろうと思うのですが、どうも余り扱われないようで。）さらに、数学という構造さえも数学の対象になります（超数学）。ここで対象としての数学は「厳密な文法を持つけれども、文が意味を持たない形式的言語体系」として扱われます。（しかしこれは、数学自体が意味を持たないということを意味している訳じゃないんです。）このように、数学が扱う対象は、言語に乗りさえすればいくらでも拡大して行きます。 数学はさておき、社会科学に目を向けますと、どうも、何か対象を取り上げようという段階で既に危険性をはらんでいるように思います。対象を一括りのカテゴリーとして扱おうとする（さもないとフィールドノートにしかならない）とき、何らかの洞察に基づいて抽象がなされるでしょう。それがもし無反省に行われると、対象を対象外と分節する枠組みそのものが、厳密な定義を持たず、根幹のところが連想や常識、すなわち言語・文化・歴史の影響を受けた通念としての意味に頼っていることになりかねません。テクストの解釈学（って、結局感想文を書くだけ?）ならそれも一つのスタンス（ガダマー式?）でしょうけれども、社会科学をやるならそれはまずい。もしそうなってしまったなら、研究や論考の進行につれてその意味がすり替わってしまう恐れがあるからです。仮説を科学的に検証するんだと称しながらその中身が入れ替わるなんて、ソクラテスの時代からある陳腐な詭弁術の演習に過ぎません。で、そういう事例は掃いて捨てるほどありますよね。（いや、結論にもなってない結論を先取りするような社会学だの、間主体性がなくてだれがやっても答えが同じになるという訳にはいかないような「ただの弁論」は論外としても、です。） ところで、この数学カテゴリーで要領を得ない質問が出ると、回答者から「定義を述べろ」「問題を正確に説明しろ」と怒られちゃうことがあるんですが、きちんと応じられる質問者なんてほとんど居ません。それが出来ないからこそ質問しているようなものなので、しょうがない訳ですが。 数学のように物事がはっきりしている閉じた世界についてすら定義を作ったり規則を整備したりするのが無理な人にとっては、混沌たる社会の現象を適切に切り取り科学の方法に則って扱うのは極めて難しかろうと思います。すなわち、抽象を自覚的に行い、適切に用語を導入して、用語同士の関係を精密に定めること。たとえ「イメージ」が似ていても抽象のプロセスが異なるものは厳密に区別し、またいくら見かけが似ていなくても定義が一致すれば同一と扱うこと。そのような、厳密に言葉を使うスキルは、（自然科学では既に多くの「科」（すなわち概念の束）がガッチリ確立しているために、よほど新規な大論文を書くとき以外は余り目立たないのですが）ことに社会科学では頻繁に必要とされるだろうと思います。 そういう意味では、数学は「論理的思考の土台」というよりも、単に論理の部分だけにはとどまらない、整合的な（破綻のない）思考のためのテンプレートとも言えるでしょうね。（もちろん、数学の論考をアナロジーにして変なことを論じるようなスカタンをやれ、と言っているわけじゃありません。） > 苦手を克服するには、どんなイメージ・考え方・心構えが必要なのか 遅れはとったが誰よりも努力して追い付き追い越した、という自信。あるいは、そんなものには今後一切近寄らないという注意深さ。
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- stomachman
- ベストアンサー率57% (1014/1775)
No.4へのコメントについてです。 > 有限の規則の組、というのは、具体的なたとえで説明可能ですか。 喩え話なんかより、図書館に行って記号論理学のテクストをご覧になるのが良いでしょう。最初の方に「論理式」の文法と、「推論規則」が、（流儀に依っては「公理」も）いくつか並んでいます。論理式は一定のルールで記号を並べた列であり、これら記号の列の機械的な操作方法が推論規則です。（なのでもちろん、論理式や推論規則は機械でも扱えます。） そして、他は一切使用禁止。アド・ホックに規則を追加したり逸脱したりは駄目です。 これが、「有限の規則の組」ということです。
お礼
>喩え話なんかより、図書館に行って記号論理学のテクストをご覧になるのが良いでしょう たしかにそうですね。 いろいろ説明してくださった言葉を手掛かりに、本探しをしてみます。 ご丁寧な回答ありがとうございました。
- edomin7777
- ベストアンサー率40% (711/1750)
じゃあ、私も本の紹介…。 中学・高校数学の本当の使い道 著者：京極一樹 まさに、あなたの為の本。ｗ
お礼
ご回答ありがとうございます。 大学の図書館で検索かけてみました。 あるらしいので、読んでみたいとおもいます。
- B-juggler
- ベストアンサー率30% (488/1596)
ちょっとだけ、役に立たないとは思うけど。 元代数学の非常勤講師です。 数学の意義って言うところだけね。 「地図を描く学問」だと思ってもらったほうがいいかもしれない。 ＃あなたのようなレベルだと分かりやすいと思うよ。 何を専攻してあるのかが書いていないから分からないけど、 行動心理なんかだと、「この行動にはどのような意味があるのか？」 という問いが出てきたとしますね。 さて、ここから 実は余り変わりはしない、数学的論理的思考に移ります。 おそらく最初に考えることは、その行動をとった人の状況、条件などだと思うのですが、 これを考える上で、何をしよう？ 単純に自分だったら？ と置き換えてみるか、 過去にこういう例があった、と 思い起こすか。 どちらにしても、某かの「理由付け」をするはずです。 実はこれこそ数学。 「理由付け」にあたる部分が、多分地図を描く準備。 自分が何を持っているか？ （これは定理とか、公式とかに該当するかな？） 次に何をしたらいいか？ （これは、計算の手順とかそういうことだろうね） 高校の数学だと、我々とちょっと違って、 「道筋を作る練習でしかない」と思っていいと思う。 ＃σ(・・*)たちは、道のないところに道を開こうとしたのね。研究者は。 ＃実際σ(・・*)は、そういう人材を育てていたのね＾＾； ＲＰＧのダンジョンにもぐりこもうとしているようなもの。 こんな感じでいいとおもうよ。 後々必要となる、論理的思考を作る練習。やらないでいるだけで、 身についていると思うけどね＾＾； 大学文系でも「理由」を考えることを 捨ててなければね。 ベクトルや微積は、ルールでしかない。ナンバープレースや アロークロスとか今あるみたいね。ああいうルール。 覚えてしまえばそれで終わり。後はそこから何が見えるか？ それだけの話しなんですよ ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ 分かってしまえば、食わず嫌いだった～～、ってすぐ気がつくよ。 (=^. .^=) ｍ（＿ ＿）ｍ (=^. .^=)
お礼
分かってしまえば、食わず嫌いだった～～ そうなるといいです。 なんでもそうかもしれませんね。 専門は会計学なのですが、国際会計基準をめぐる政治的なすったもんだとかで、嫌気がさし、ゼミは経済学の先生のもとでやっています。 でも最近は、現実の状況とは抜きにして、会計学の言ってることもちゃんと理解しようと思っています。
いくつか書籍をご紹介しながら、ちょっとお話したいと思います。 (I) 「いかにして問題をとくか」G.ポリア 著（丸善出版） 数学をベースにはしていますが、 色々な問題解決の参考になるとの評価があります。 この本とは関係ないですが、 個人的には、「場合分け」が日常でも使える考え方だと思っています。 「もしＡだったらこう動く、もしＢだったらこうする。あ、Ｃという可能性もあるな。Ｃだったらこうだ。 いや待てよ、ＡとＣが同時に起こることも考えないと・・・」 などと考えたりしますけどね。 (II) 「数学入門（上巻、下巻）」 遠山啓 著 （岩波） 微積のことについても載ってます。 (1)微積って何がしたいの？ ざっくり言うと、 ・微分は細かく刻んで変化（率）を見る。 例：「曲線のある点での傾き」 「位置→速度→加速度」 ・積分は各領域にある要素をかき集める。 例：「ある領域の面積」 (2)ベクトルって何がしたいの？ ベクトルは大きさだけでなく、向きを持つ量です。 例としては、速度があります。 ところで、「速さ」と「速度」の違いはわかりますか？ 速さは、大きさ（たとえば、時速５０km）だけですが、 速度は、向きと大きさ(たとえば、北に向かって時速５０km)を持ちます。 余談ですが、速度はベクトルですが、速さはスカラーと呼ばれる量です。 ベクトルは物理の世界ではガンガン出てくる概念ですし、 数学に限っても図形とかで出て来たりします。 ベクトルが使えることで、図形問題の別の解き方ができたりして、 「ある目的を果たすのに違うやり方がある」ということを学べたりします。 (1)と(2)のタイトルが、「～って何がしたいの？」 とありますが、（一例が言えても）何がしたいかはその人しだいです。 「パソコンで何がしたいの？」って聞かれているようなものです。 話を戻して、 数学の分野だけで終始せず、 他の分野で微積やベクトルが使われている例を知れば、 なんの役に立つのか、どういうイメージなのかできてくると思います。 物理が、数学の一番のお客さんといわれますが、 そのほか、文系の人のほうがなじみのある、統計学、経済学などでも数学は使われているでしょう。 (3)数123数ABCの違いがそもそも・・なぜ系統が分かれている？ この分け方の理由は私もよく分かりません。 昔（２０年くらい前）では、 「幾何」、「微分積分」、「確率分布」、・・・ とかいう感じで別れていたみたいですけどね。昔の分類のほうが良かったと思うんですけどね。 ひとつの理由として、文系が３Ｃを学ばないから中途半端なわけ方をしたというのはあるかもしれませんね。 文系でも微積は習うと思いますが、理系だと３Ｃでより高度な微積をやってます。 以上です。
お礼
＞何がしたいかはその人しだい この点の勘違いは、大きかったようです。 根本的になにか先入観があって、間違っているようですね。 虚心坦懐の心構えでやろうと思います。 書籍のご紹介、ご回答ありがとうございました。
補足
ご回答ありがとうございます。 数学についての前半部分と、社会科学のお話は、納得できました。 非常に勉強になります。 このような学問の話、客観的な思考についての話をしてくれる相手が、（先生はまあべつとして）、友人にほとんどいませんし、自分のレベルの低さというものがいまいち実感できていなかったのですが、知らないことがいっぱいあるなあ、とよくわかりました。 また、再質問となるのですが、 ＞『論理の一部は、（ぐだぐだな文章の「論理」とは違って）十分に抽象的で、有限の規則の組として整備されています。』 この部分の意味が、わかりません。 有限の規則の組、というのは、具体的なたとえで説明可能ですか。