べき級数で解く微分方程式 ２問目
次の微分方程式の解を 式(5.1) = y(x) = Σ[i=0,∞] ( a_[i] * x^i ) のべき級数を用いて求めよ。
x^2 * (dy/dx) - y = x^2
解答
べき級数展開から次の式を得る。
x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1)( a_[i+1] * x^i ) - Σ[i=0,∞] ( a_[i] * x^i ) = x^2
xの次数ごとに両辺の係数を比較すると、
a[0] = 0
a[1] = 0
a[2] = -1
a[n] = (n-1) a[n-1] (n>=3)
なる関係式を得る。これより、n>=3について
a[n] = (n-1) ! * a[2] = -(n-1) ! ←この式を求めたいです
となる。したがって、微分方程式の級数解として
y = -x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1) ! * x^i
を得る。
・・・と本に書いてあります。
a[n] = (n-1) ! * a[2]
の導き方が分かりません。
自力で
x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1)( a_[i+1] * x^i ) - Σ[i=0,∞] ( a_[i] * x^i ) = x^2
が
-a[0] - a[1] * x + Σ[i=2,∞] [ { (i+1) * a_[i-1] - a[i] } * x^i ] = x^2
になることは分かりました。それで、
i=0:
-a[0] = 0
a[0] = 0
i=1:
-a[1]x = 0x
a[1] = 0
i=2:
(a[1] - a[2])x^2 = 1x^2
(0 - a[2]) = 1
a[2]) = -1
i=3:
{ (3-1) a[2] - a[3]}x^3 = 0x^3
2a[2] - a[3] = 0
2(-1) - a[3] = 0
-2 - a[3] = 0
- a[3] = 2
a[3] = -2
i=4:
{ (4-1) a[3] - a[4]}x^4 = 0x^4
3a[3] - a[4] = 0
3(-2) - a[4] = 0
-6 - a[4] = 0
- a[4] = 6
a[4] = -6
i=n:
{ (n-1) a[n-1] - a[n]}x^n = 0x^n
(n-1) a[n-1] - a[n] = 0
- a[n] = - (n-1) a[n-1]
a[n] = (n-1) a[n-1]
ここまでは出来ましたけど、この式を使ってn>=3の場合を足していったら
a[n] = (n-1) ! * a[2]
になるんですよね？
（ a[2] = -1 と分かっているのでその次の式はいいとして、）
この階乗はどうやって出せばいいんでしょうか？
i=3 と i=4 を見ていると階乗になりそうなのは分かります。
どうか教えてください。お願いします。
お礼
ありがとうござました＾＾