解き方が分からない問題・・はて答えは？

質問

正の数aに対して
a^x=x^a
となる正の数ｘは何個あるのでしょうか？

はてさて、どう考えるべきなのでしょうか？
ｘ＝aの時ぐらいしか思いつかないのですが？
答え・求め方などお願いします。

回答No.1

tk35 · ベストアンサー

求め方で良ければ…
私なら、グラフを描きます。「値を求めよ」ではなく
「何個あるか」が問題になっているので。

グラフの挙動が変わるaの値で場合分けすると、
0<a<1と1<=aの２通りでよいと思われます。
この２つの場合において、y=a^xとy=x^aの２つの
グラフを描き、交点が何個あるか求める、という感じでしょうか。おそらく座標は求まらないと思います。

回答No.4

springside

#3のspringsideです。

東大の９１年度入試・後期理系数学の１番が類題です。

回答No.3

springside

皆さんの回答が出ていますが、具体的な解としては、
2^4=4^2
というのがありますね。（整数に限ると、これが唯一の答えのはず）

確か何年か前の東大の入試問題に似たようなのがあったと思います。

回答No.2

KanjistX

両辺の自然対数をとる
→xloga=alogx
→loga/a=logx/x

y=logx/x(x>0)のグラフを描いてみる(微分して増減を調べる)

y=logx/xのグラフは負の無限大から始まり、x=1でx軸に交わり、2と3の間くらいで正の極大値を取り、あとは単調減少しながらx軸に漸近していくというグラフになるので、a<1 or a=1なら一個(x=a), a>1なら二個(x=a以外にもうひとつ、値は具体的にもとまらない)
グラフを描いて、x軸に平行な直線をいろいろ動かしてみればわかると思います。