確率の問題の解き方がわかりません

質問

どうしても解き方が分からない確率の問題があります。
解き方を教えていただけないでしょうか？

問い：
合計４０００個のボタンを穴１、穴２、穴３、穴４に縫い付けます。
４０００個のうちの５個はボタンに欠陥があります。
これをランダムに選び、縫い付けて行きます。
→欠陥ボタン全て（5個）が穴２に縫い付けられる確率は何パーセントでしょうか？

4000!/(4!X(4000-5)!) X (1/4) X (1/4) X (1/4) X (1/4)
で合っていますでしょうか？

全く解き方が分かりませんので、どうかご教授のほどお願いいたします。

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

4000個のボタンに通し番号を付けて、ボタンNo.1～5が欠陥ボタンだとします。

穴の方は、服が1000着あって、それぞれに、穴1～4があって、という話でしょうから、穴の方にも、
服No.1の穴1が、穴No.1、服No.2の穴１が、穴No.2,…、服No.1000の穴１が、穴No.1000、
服No.1の穴2が、穴No.1001、服No.2の穴2が、穴No.1002,…、服No.1000の穴2が、穴No.2000、…
のように、通し番号を振ってみます。

欠陥ボタン以外は、何をどこに付けても構わないので、確率としては考える必要がなく、
欠陥ボタン・No.1～5を付ける場所だけに注目すれば、いいので、

ボタンNo.1～5をどこに付けるか、という場合の数は、
No.1が付けられる場所は、どこでもいいので、4000通り、
No.2が付けられる場所は、No.1を付けた場所以外の、3999通り、…
と考えていくと、4000*3999*3998*3997*3996通りあります。

その中で、穴２に当たる場所は、穴No.1001～No.2000の1000箇所なので、
そのどれかにボタンNo.1～No.5が付けられる場合の数は、
上と同じ要領で考えて、1000*999*998*997*996通りになります。

すると、欠陥ボタンすべてが穴２に縫い付けられる確率は、
(1000*999*998*997*996)/(4000*3999*3998*3997*3996)
ということになります。

数学の問題の答なら、約分をできるだけやって、
41292749/42602695996
電卓で値を求めると、0.00096925くらい

そんなに精度が必要がなく、大雑把な見積もりが欲しい場合は、
大体(1/4)^5 とみて、1/1024、暗算で、0.1%弱、
というので、間に合うかもしれません。

お礼

早速ご回答、解説いただき、誠にありがとうございました。
この問題でつまづいていたので、大変助かりました。