冷却水量の違いによる冷却効率の計算法

質問

仕事で、液体の水冷装置の改善を検討中です。
冷却装置の概要は大変複雑ですので、簡単に申しますと、
一定のレートで50℃の液体が複数の筒を通り、その筒の上から冷却水をシャワーリングし、
上部タービンで気化した蒸気を飛ばすといった機構となっております。
冷却水は循環式となり、これまでの問題で、常に新しい（冷たい）水を供給できないことから、
冷却水がどんどん50℃の液体温度に近づき、効率がすぐに落ちるといった不具合がありました。
そこで、改善案とし、循環式冷却水を受けるタンクを既存の3kLから20kLに変更したいと考えていましたが、
それにより、どの位効率が上がるかの説明をする計算値が導き出せません。
これまでの約6.5倍に循環される冷却水貯槽を増やした場合、どの程度の効果があるかを数式を用い、
ご教授いただきたく思っております。
冷却水の循環レートは同じでも冷却水の貯槽量が多くなれば、
冷却水自体が冷える時間が増えることから効率は上がると頭の中ではわかるのですが、
いざ計算するとなると、全くわかりませんでした。

よろしくお願いします。

回答No.1

okormazd

「約6.5倍に循環される冷却水貯槽を増やした場合、どの程度の効果があるかを数式を用い」ての説明は、これだけの条件では無理でしょう。ただ、一般的にはこうなるでしょうという説明ならなんとかできますが。
ということで、・・・・・。

太っている人は痩せている人より概して暑がりです。体に熱がたまりやすいからです。放熱は主として体の表面からなされるので、体重1[kg]当たり表面積、これを比表面積といいますが、これが大きいほうが熱の発散がよく冷えやすい。要するに太っている人は痩せている人より比表面積が小さいので、痩せている人より熱の発散がしにくいのです。

1[t]=1[kL]=1[m^3]の水を考えます。立方体とすれば、その表面積は、6[m^2]です。比表面積は6[m^2/kL]です。
20[t]=20[kL]=20[m^3]の水を考えます。立方体とすれば、１辺は、20の3乗根すなわち20^(1/3)=2.71[m]だから、その表面積は6面で、6×2.71^2=44.2[m^2]です。比表面積は
44.2/20=2.21[m^2]になります。
1[t]の水をまとめて20[t]にすると、比表面積は約1/3になってしまいます。ここから熱が逃げるとすれば、冷え方は1/3になる、太った人が暑がりの理由です。

質問の場合、3[kL]をまとめて20[kL]にするという。もしそのままスケールアップしたとすれば、比表面積は、(3/20)^(1/3)=0.53倍になって冷え方は約半分になってしまいます。同じ温度まで冷やすのに、3[kL]の場合の2倍の時間がかかるということです。

滞留時間は6.5倍になるので、それでも「効果があるはず」と思われるでしょうが、どうでしょう。

温度がニュートンの冷却の法則に従うとすれば、温度の降下速度は温度差に比例し、放熱量に比例するとしてよい。放熱量は比表面積に比例するので、
dt/dθ=-kA(t-ts)
t:温度
ts:周囲温度
θ:時間
k:比例定数
A: 比表面積
という式になります。ごく一般的な大雑把なモデルですが、この質問に数式で答えるとすれば、こんなものでしょう。
結局、
t=ts+(t0-ts)・exp(-kAθ)
になります。t0は始めの温度です。

この式で、A=1としたものと、A=0.53にしたもので時間とともに温度がどうなるかを比べてみればいい。具体的な数値は、質問の滞留時間やそれに対する温度などのデータがないので示すことはできない。
しかし、
一般的にいえることは、3[KL]で効果がなければ、20[kL]にしても残念ながらそれほどの効果は期待できないということです。

質問の方法が冷却水の温度を下げたいとする方策として適した方策としては疑問です。
次のような対策が一般的と思いますがどうでしょう。

1. 冷水塔のように一部蒸発させて温度を下げる。
2. ほかの冷却水で熱交換する。
3. 貯留槽を小さくして、配管を細く長くして、滞留時間を稼いで冷却する。細いほうがよい。流量が足りなければ複数配管にする。要するに比表面積を大きくして冷やそうというのです。

なお、質問が雲をつかむような部分があるので、適切な回答にはなっていないかもしれませんが、悪しからず。