θ回転の複素数の利用

質問

(p,q)をθ回転すると(x,y)に移ることを

(p+qi)(cosθ+isinθ)=x+yi

と表せる理由を教えて下さい。

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これは東大模試の過去問の答えにあった公式です。

高校数学ではでてきませんよね・・・

高校では習わないけれど便利な公式があれば、それも教えて下さい。

回答No.2

WiredLogic · ベストアンサー

＞高校数学ではでてきませんよね・・・

質問者さん自身の学年は、対象ではないんでしょうが、
もうすぐ、数学は新課程、教科書が新しくなり、その数IIIの教科書で扱われるようになります。

この問題ができる前提として、

現行の数学Ｃで、行列・一次変換・回転変換を学んでいると手っ取り早いのですが、
でなければ、教科書・参考書・インターネットサイトなどでチェックしてから…

まず、回転変換行列を使って、(p,q)をθ回転した結果を書き出しておきましょう。
(p,q)*(回転変換行列) = (x,y) とすると、x = ～、y = ～ と表せますね。

もしも、回転変換が、うまく解らなかったとしても、大丈夫、そのときは、
P(p,q),O(0,0),A(1,0),P'(x,y)として、OP=OP'=r, ∠AOP = α, ∠POP' = θとおくと、
図を描けば解る通り、∠AOP' = α+θになりますから、
(x,y) = (r*cos(α+θ), r*sin(α+θ))、加法定理で展開して、rとαを消せば出来上がり、
数学IIの教科書・参考書に、加法定理の図形的な証明の図があれば、参考になります。

次に、問題の式の左辺を展開します。
(展開した式)=x+yi　から、x = ～、y = ～、と書き表せますよね。
(ちょっと悩んだ場合に備えて、書いておくと、x,y,p,q,θは実数なので、
実数部と虚数部に分ければ…、ここんとこは、今の数IIの範囲内ですよね)

で、できた２つを見比べると…、解りましたよね。

座標平面で、点(x,y)を、複素数 x+yi を表す点、点(p,q)を、複素数 p+qi を表す点、
のようにみたものを、複素(数)平面、または、ガウス平面といい、
ここでの複素数の足し算・引き算は、座標やベクトルの足し算引き算のように、平行移動を、
掛け算・割り算は、一次変換のように、相似変換・回転変換を組み合わせたものになることが解っています。

便利な公式としては、加法定理を忘れたときに、α+βの回転を表す複素数は、
cos(α+β) + i*sin(α+β)、これは問題の結果から、(cosα+i*sinα)(cosβ+i*sinβ)と同じになることが解る、
右辺を展開して、左辺と比べると(実部・虚部に分けて考える)、加法定理が出てくる。

α=βで同じ計算をすると、２倍角公式が出てくる、このへんは完全に覚えていれば、問題ありませんが、

同じ仕組みで、cos(nθ) + i*sin(nθ) は、θの回転をn回やったものだから、
(cosθ + i*sinθ)^n (～^nは～のn乗を示す) と同じ、
すると２項定理で展開し、実部虚部に分けて両辺を比較すると、何倍角の公式でも、
割とすぐに出せる、必要があるときは、かなり便利です。

高校の学参で、科学振興新社の「モノグラフ」シリーズという、受験対策で使うには、
ハードすぎるかも、という、分野別参考書がありますが、この中に「公式集」というのが
あり、「公式集」というより、分野ごとに、基本参考書の説明よりグッとコンパクトに、
受験参考書の章ごとのまとめより詳細丁寧にまとめてある、高校の全範囲の復習
に持って来いの参考書、現在のバージョンは、現行教科書の順番をベースに
まとめてありますが、かつて高校範囲だったものは、必ず入れてある、なので、
現行のものにも、複素数平面が入っていて、１つ前のものにも、微分方程式は
あった、難関大学の入試には、それなりに出るのに、教科書や参考書では、
独立の章がない(新課程では数Iにあるそうですが)ことが多い「整数の問題」も、
昔からずっと１章ある、、１冊手近においとくと重宝する本です。

これ読むと、複素数平面絡みで、他にも、使えそうな知識、公式がいっぱい。
私のイチオシです。

お礼

丁寧な解説で分かりやすかったです。

モノグラフシリーズは学校の図書館にあるので
早速借りたいとおもいます。

教えていただき、本当に感謝です。受験まであと１年。頑張ります。

回答No.1

151A48

p+qi=r(cosα+isinα), r=√（p^2+q^2) , αは実軸（ｘ軸）とp+qiのなす角　　と書ける。
(p+qi)(cosθ+isinθ)=r(cosα+isinα)(cosθ+isinθ)
右辺を展開して実部と虚部に分け，三角関数の加法定理。
絶対値は変わらず，角度がθ増えている（つまりθ回転した）のが確認できると思います。
前の指導要領のときは高校生も勉強しました。この領域は高校の範囲から出たり入ったりしています。

お礼

さんくす！