数式の変形に関して

質問

a1/b1=a2/b2=y/x,

上式のような関係式がある場合，

1/x=1/b1+1/b2,

であり，

1/y=1/a1+1/a2,

となるらしいのですが，どのように数式を変形すれば導けるのでしょうか．
かれこれ数日間悩んでおり，
質問させていただくことにしました．

ご存知の方がいらしたら
ご教示頂けますと幸いです．

回答No.4

stomachman

> したがって 1/x=1/b1+1/b2であるとき

> といった仮定等はありません

　なるほど、そうですか。でも、その仮定がないとなると、
　　1/x=1/b1+1/b2
になるとは限らないのは、既に回答されている通り。

　ということはですよ、もしかすると以下のような話なのではないでしょうか：
「 測定によってデータ(a1, b1)と (a2, b2)が得られた。理論上a,bの比はどちらも同じ、すなわちa1/b1=a2/b2になる筈のものである。しかし測定誤差によってデータが微妙に狂っているために、得られたデータはa1/b1≒a2/b2となっている。そこで、これら2組のデータを使って、a,bの比(y/x)をより正確に推定したい。」

　もしそういう話であるならば、
　　1/x=1/b1+1/b2


　　1/y=1/a1+1/a2
とやるのは全く自然です。仮に測定誤差がなくてa1/b1=a2/b2が成り立つのなら、確かに
　　a1/b1=a2/b2=y/x
となっている。この場合、yはa1,a2の、xはb1, b2のそれぞれ調和平均を取ることで計算した訳です。（なぜ算術平均ではなく調和平均を使うのかというと、それにはおそらく「理論上」の理由があるのだろうと思われます。）

回答No.3

stomachman

おそらく問題はこうじゃないですかね：
「x,y≠0かつ a1/b1=a2/b2=y/x かつ 1/x=1/b1+1/b2であるとき、1/y=1/a1+1/a2 であることを示せ」

だとすれば、たとえば
　　b1 = a1(x/y)
　　b2 = a2(x/y)
を代入して
　　1/x=1/b1+1/b2
からb1, b2を消去すればいい。やってみると
　　1/x=(y/x)/a1+(y/x)/a2
　　=(y/x)(1/a1+1/a2)
だから
　　1/y = 1/a1+1/a2

> y/x={(a1+a2)(b1*b2)}/{(a1*a2)(b1+b2)}

これも同じくb1, b2を消去すればいい。
「公式を目にした事は」もナニも、こんなの公式の内に入らない。「憶えるもの」なんかじゃないです。

お礼

問題は物理の論文の数式変形の際に生じるものであり，
今回質問させて頂いた物よりも難解なものです．

したがって 1/x=1/b1+1/b2であるとき
といった仮定等はありません．

物理の話ではなく，単なる算数の問題か，
と思いご存知の方がいらっしゃるかどうかを質問させて頂いた所存です．

計算して頂きありがとうございます．

回答No.2

gtmrk

こんばんは。

No.1 の方が反例を示して下さったとおり、

　(1)　　a1/b1 = a2/b2 = y/x ( = k )

という式は

　(2)　　1/x = 1/b1 + 1/b2 かつ 1/y = 1/a1 + 1/a2

であるための十分条件にはなり得ませんね。
『(1)⇒(2)』は成り立たないということです。

一応(1)から(2)をなんとなく導くことは出来ます。
比例式(1)が表す値が k という定数で表せるとすると、
この式は以下のように

　(3)　　1/b1 = k/a1
　(4)　　1/b2 = k/a2
　(5)　　1/x = k/y

という３つの式に分解でき、
ここで (2) + (3) - (4) という式を作ると

　(6)　　1/b1 + 1/b2 - 1/x = k ( 1/a1 + 1/a2 - 1/y )

となるので、この式が k について恒等的に成り立つならば、

　(2-1)　　1/b1 + 1/b2 - 1/x = 0　⇔　1/x = 1/b1 + 1/b2
　(2-2)　　1/a1 + 1/a2 - 1/y = 0　⇔　1/y = 1/a1 + 1/a2

でなければならない、という感じです。

ただしここから言えるのは『(1)⇒(6)』および『(2)⇒(6)』だけです。
『(6)⇒(1)』は成り立ちませんから、
（反例： x = 2, b1 = 3, b2 = 6, y = 4, a1 = 12, a2 = 6 など）
『(2)⇒(1)』も成り立ちません。
結局、(1)は(2)であるための必要条件でも十分条件でもないわけです。

というわけでこの変形は相互に成り立ちません。
命題の解釈を間違っているか、
条件をいくつか見落としている可能性が高そうです。

お礼

お答えいただき
ありがとうございます．

No.1 さんにもご指摘頂いたように
条件の見落としがある可能性があるため
確認してみようと思います．

補足

b1/a1=b2/a2=y/x であるときに，

y/x={(a1+a2)(b1*b2)}/{(a1*a2)(b1+b2)}

になるらしいのですが，上式のような公式を目にした事はありませんでしょうか．

ご存知でしたら
お教え頂きますと幸いです．

回答No.1

Cupper-2

いやいやいやいやいや...
それ、明らかに違うでしょ。
一つ目の式に適当な数値を入れてみましょうか。

　1/2 ＝ 2/4 ＝ 4/8

これを二つ目と三つ目の式にそれぞれ当てはめると

　1/8＝1/2+1/4
　1/4＝1/1+1/2

…ありえねぇ…絶対にありえねぇ…
これはどう考えても、二つ目と三つ目の式が間違えているとしか考えられないんだな。
それか、質問文に書かれていない条件が他にあるのだろうと思います。

お礼

お答えいただき
ありがとうございます．

確かにそうですよね．
私も質問した直後に簡単な数を代入したところ
式が成立しなかったため，
さらに疑問が深まりました．

条件の見落とし等
確認してみます．

補足

b1/a1=b2/a2=y/x であるときに，

y/x={(a1+a2)(b1*b2)}/{(a1*a2)(b1+b2)}

になるらしいのですが，上式のような公式を目にした事はありませんでしょうか．

ご存知でしたら
お教え頂きますと幸いです．