A＝BQ＋Rの一通りになることの証明？

質問

次のことを証明したいのですが、その次に書いた証明でいいんでしょうか？？
A、Bがある１つの文字についての多項式で、
B≠０のとき、A＝BQ＋R（ただしRは０かBより低い次数の多項式）
を満たす多項式QとRがただ１通りに決まる

A＝BQ[1]+R[1]=BQ[2]+R[2]を満たす多項式Q[1],Q[2],R[1],R[2]が存在するとする。
B(Q[1]-Q[2])+(R[1]+R[2])=0
Q[1]-Q[2]=0ならば、R[1]-R[2]=0
Q[1]-Q[2]=0ならばB=-(R[1]-R[2])/(Q[1]-Q[2])
R[1],R[2]はともに０かBより低次なので右辺は０より低次になり矛盾
よってQ[1]=Q[2]、R[1]=R[2]となるので１通りにきまる

のように証明（？）したんですが、本当はどう示せばいいでしょうか？
教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

noname#152422

> A＝BQ[1]+R[1]=BQ[2]+R[2]を満たす多項式Q[1],Q[2],R[1],R[2]が存在するとする。

これに加えて、

Q[i]は0かまたはBより低い次数をもつ（i=1,2）　・・・（※）

という条件も必要です。

> B(Q[1]-Q[2])+(R[1]+R[2])=0

これは「B(Q[1]-Q[2])+(R[1]-R[2])=0」の書き間違いでしょう。

> Q[1]-Q[2]=0ならばB=-(R[1]-R[2])/(Q[1]-Q[2])

「Q[1]-Q[2]≠0ならば」の書き間違いだと思いますが、Bの右辺の有理式が多項式とは限らないのでそれ以下がおかしい。

「Q[1]-Q[2]≠0ならば」以下、続けるならば

B(Q[1]-Q[2])=(R[2]-R[1])よりR[1]-R[2]がBを約数としてもつ。

（※）から、R[1]-R[2]は0かまたはBより次数が低いので、これがBを約数に持つ場合はどんな場合かと考えます。