レビチビタ記号 εijkとεpqrの積

質問

2つのレビチビタ記号εijkとεpqrの積εijkεpqrの積はどうやって求めればいいのでしょうか？
ベクトル3重積A・(B×C)が行列式で表されることを用いるそうですが、どう用いればよいのか見当がつきません。
誰かもしよろしければ詳細宜しくお願いします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

i=h(1)
j=h(2)
k=h(3)
p=s(1)
q=s(2)
r=s(3)
とすると
(ε_{i,j,k})(ε_{p,q,r})
=(ε_{i,j,k})(ε_{s(1),s(2),s(3)})
=ε_{s(i),s(j),s(k)}
=ε_{s(h(1)),s(h(2)),s(h(3))}

shが偶置換のときε_{s(i),s(j),s(k)}=1
shが奇置換のときε_{s(i),s(j),s(k)}=-1
shが置換でないときε_{s(i),s(j),s(k)}=0

(ε_{i,j,k}){(ε_{i,j,k})(ε_{p,q,r})}
={(ε_{i,j,k})^2}(ε_{p,q,r})
={(ε_{h(1),h(2),h(3)})^2}(ε_{p,q,r})
=(ε_{h(h(1)),h(h(2)),h(h(3))})(ε_{p,q,r})
=(ε_{h(h(1)),h(h(2)),h(h(3))})(ε_{s(1),s(2),s(3)})
=ε_{s(h(h(1))),s(h(h(2))),s(h(h(3)))}

hが置換のとき(ε_{i,j,k})^2=1だから
{(ε_{i,j,k})^2}(ε_{p,q,r})=ε_{p,q,r}

hが置換でないとき(ε_{i,j,k})^2=0だから
{(ε_{i,j,k})^2}(ε_{p,q,r})=0

ε_{1,2,3}=ε_{2,3,1}=ε_{3,1,2}=1
ε_{1,3,2}=ε_{2,1,3}=ε_{3,2,1}=-1

[{ε_{i,i,j}=ε_{i,j,i}=ε_{j,i,i}=0}_{i=1～3}]_{j=1～3}