超難、三角形でR,rが一定のとき、面積Sの最大最小
一般性のある問題ですので、興味ある方はどうか一緒に考えてください。
三角形で○と□が一定のとき、△の取り得る範囲を求めよ。
という問題を考えています。
○や□や△には、3辺の長さの和2s、面積S、外接円の半径R、内接円の半径r、などが入ります。
4C2×2＝12通りの問題が作れます。
今回は、その中で次の答えを知りたく質問させていただきました。
三角形で外接円の半径Rと内接円の半径rが一定のとき、面積Sの最大最小は？
ちなみに、最大最小となるのは一般に正三角形のときではありません。
ラグランジュの未定乗数法だと、面積S、外接円の半径R、内接円の半径rを、三角形の3辺の長さa,b,cの関数と考え、また、一定値を同じ文字R、rを用いて、(2乗などは便宜的な調整)
F(a,b,c,λ,μ)={4S(a,b,c)}^2-λ{R(a,b,c)^2-R^2}-μ{4r(a,b,c)^2-4r^2}
=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)-λ{a^2b^2c^2/(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)-R^2}-μ{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(a+b+c)-4r^2}
の偏微分を計算すればいいのですが、複雑すぎます。対数微分を使えばいいでしょうか?
他のアイデアとして、
http://homepage2.nifty.com/retrogression/1-1-2-5-pr-2rstR/index.html
の真ん中にあるように、
2r/R=8sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
ここで、A+B+C=πのとき、cosA + cosB + cosC = 4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) + 1 = -4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) - 1を使うと、
r/R=4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)=cosA + cosB + cosC - 1
が一定、つまり、
cosA + cosB + cosC = cosA + cosB - cos(A+B) =一定のとき、
S=abc/4R=2R^2sinAsinBsinC=2R^2sinAsinBsin(A+B)
の最大最小を求めればいいでしょうか?
お礼
ありがとうございます。 Supreme、でしたか