Rが体であることはどのように示すのですか？

質問

Rが体であることはどのように示すのですか？

(-1)×(-1)=1を示すのに、Rが体であることを用いて体の定義から(-1)×(-1)=1が定理であるとする議論がよくあります。
この議論ではRが体であることを暗黙の了解としていますよね。
そこで体の定義に従ってRが体であることを確認しようとすると、分配法則の確認で(-1)×(-1)=1を使う必要が出てくると思われます。
これでは循環論法ですよね。
Rが体であることをうまく示す方法はあるのですか？

回答No.3

alice_44

素朴集合論の上に「+1」を定義して「自然数」とし、
自然数の直積を「差が等しい」という同値関係で割って「整数」とする。
この「整数」の上に適切な加法と乗法を定義すれば、
環を構成できる。構成的定義なので、環であることの証明も可能。
一般環の上で (-1) x (-1) = -1 が成立することは、
代数学の計算練習。　…ということでしょうか？
計算練習の部分は、よく、入門書に載っていますね。

歴史的には、アルキメデス的完備順序体が存在することを証明した過程で、
それが一意でないことも解って、それを基に、
大学で習う微分積分よりも素朴で美しい微分学が作られたのですが、
あまり教育には取り入れられていませんね。
εδを「近づく」に変えたノリで「微少量」を持ち込んだら
収集がつかなくなるでしょうから、しかたのないことかも知れません。

「最小の」を頭につければ、同型の意味では R は一意で、
集合そのものとしては「一意じゃなくても問題はない」。
仰るように、そもそも、完備順序体じゃなくても、環で十分な訳ですが。

補足

＞素朴集合論の上に「+1」を定義して「自然数」とし、
＞自然数の直積を「差が等しい」という同値関係で割って「整数」とする。
＞この「整数」の上に適切な加法と乗法を定義すれば、環を構成できる。
＞構成的定義なので、環であることの証明も可能。
この部分を詳しく教えていただけませんか。
また、公理的集合論でも可能な構成方法でしょうか。

＞大学で習う微分積分よりも素朴で美しい微分学
これはどのような理論なのでしょうか。

回答No.2

kabaokaba

>最小のアルキメデス的完備順序体を R とする

よくある手法ですが，ある意味，超越的というか
個人的には好きなんですが，
「アルキメデス的完備順序体」ってものが「存在するのか」とか
「一意？一意じゃなくても実は問題ない？」とか
「アルキメデス的完備順序」であることまでいわなくてもいいじゃんという
側面（いや，実際にはこうなるんで，必要はあるんだけど・・・），もあります．

下から積み上げる定義も考える方が楽しいでしょう．
クロネッカーばりに「自然数は神が創った」的には
自然数から整数を作って有理数を構築（これは比を考えればいい．
この目的では環論を使うまでもない）して
さらに，完備化して演算を拡張するという流れで
これって大学一年生の微分積分で習うでしょう？

(-1) x (-1) = -1 の目的には
整数の構築の段階で十分で
分配・結合・交換は自然数の段階か．
自然数をそのものを演算法則も含めて構築しようとすると
かなり厄介だから，自然数は認めましょう．

補足

＞自然数から整数を作って有理数を構築して完備化して演算を拡張する
整数の演算を拡張するので、結局(-1)×(-1)=1を前提として認めてしまっているかと思います。
自然数であれば分配法則は納得できますが、そこから整数でも成り立つ根拠が欲しいのです。

回答No.1

alice_44

話が循環しないようにするには、
出発点を決めなければなりません。
それが R の定義です。

R を定義するやりかたは、何通りもあります。
どんな定義を採用するかによって、
何から何を示せば R が体であることを
証明したことになるのかは、異なります。

よく使われるのは、
最小のアルキメデス的完備順序体を R とする
という定義です。これを採用した場合、
R が体であることは既に定義の一部ですから、
あらためて証明するまでもありません。

貴方の R の定義は、どんなものでしょうか？

補足

＞最小のアルキメデス的完備順序体を R とする
私は分配法則の成立が(-1)×(-1)=1と同じくらいに疑わしく感じてしまうのです。
ですので、Rが体であることを定義にしてしまうのは納得できず、他の公理系から証明できないかと思いまして。
QからのRの構成はあらかじめ負の有理数同士の掛け算を定める必要があるので有効ではなさそうに思えます。
効果的な定義はあるのでしょうか？