この問題がわかりません

質問

ある時点（０年物）で、同じ容量の２つの空の樽A,Bに新味噌を一杯入れ、以後、1年経つごとに以下の操作を行う。次の（カ）～(コ)に適切な式を記入せよ。
ただし味噌の量は自然に減少しないとする。

　Bの味噌を半分取り除き、Aの味噌の半分をBを移す。さらに、Aにはその年の新味噌を入れ一杯にし、両樽ともよく混ぜる。

　以下では、新味噌は0年物とし、ｘ年物の味噌が1年経過したものを(ｘ＋１)年物とする。また、ｘ年物とｙ年物を同量ずつ混ぜた味噌はｘ＋ｙ/２年物と呼ぶ。

　ｎ年後に上記の操作を行った直後のA,Bの味噌をそれぞれaｎ年物、ｂｎ年物と表す。

　例えば（a₁、ｂ₁）＝（１/２、１）、（a₂、ｂ₂）＝【　（カ）　】となる。

　自然数ｎに対し、aｎ₊₁をanで表すとan₊₁＝【　（キ）　】

となり、数列｛an}の一般項はan＝【　（ク）　】となる。この式を用いることで、数列｛ｂｎ｝の漸化式ｂｎ₊₁＝【　（ケ）　】を得る。ここでCn＝２＾ｎ（ｂｎ－３）とおき、数列｛Cn｝の一般項を求めることにより、数列｛ｂn｝の一般項はｂｎ＝【　（コ）　】となることがわかる。

お願いします。

回答No.1

sanori

こんにちは。

ａはｂに影響を受けませんね。
ａだけとりあえず書いてみると、
１年後　ａ1　＝　（０＋１）×１／２　＋　０×１／２　＝　１／２
２年後　ａ2　＝　（１／２＋１）×１／２　＋　０×１／２　＝　３／４
３年後　ａ3　＝　（３／４＋１）×１／２　＋　０×１／２　＝　７／８
４年後　ａ4　＝　（７／８＋１）×１／２　＋　０×１／２　＝　１５／１６
５年後　ａ5　＝　（１５／１６＋１）×１／２　＋　０×１／２　＝　３１／３２

というわけで、
ａn　＝　（２^n － １）／２^n　＝　１　－　１／２^n
であることがわかってしまいます。

途中式をじっと見ると、
ａn+1　＝　（ａn　＋　１）×１／２　＋　０×１／２　＝　（ａn　＋　１）／２
であることもわかります。

ここまで来ると、ほかのところの解き方もわかってきませんか？

お礼

ありがとうございます

同じ要領で解いていき、ｂｎ+１まで求めることができました。

ですが、ｂｎの求め方がわかりません。

ｃｎをどのように使えばいいのでしょうか？