速さの平均 なぜ？ とても根本的な質問

質問

こんにちは、とてもとても平易なお話なのですが、理解に苦しんでおります。

ある距離Lをもつ区間があります。この区間を往路は時速10km　で　復路は時速20km　で走行したとします。すると平均の速さはいくつになるでしょうか。

始め、私は単純に、「走行距離は往路・復路でまったく同じなのだから、10と20の平均値で時速15kmだろう」と思いました。しかし、よく考えると、もしくは物理の教科書をみると違いました。
平均速さの定義は、走行距離を走行時間で割ったもの、です。
まず、往路にかかる時間は、L ÷10 復路にかかる時間はL ÷ 20、往路復路の合計の走行距離は2L。したがって、平均速度は　2L ÷ (L ÷ 10 + L÷20）
で、計算すると、時速13kmが求まり、単純な10と20の平均値である15とは異なります。

計算上、定義上でこうなるのは良く分かるのですが・・・
なぜこうなってしまうのか、困惑しています・・・

時速13kmは物理の定義上、このように求まりましたが、

一体・・・時速15kmは何者なのでしょうか。
時速15mの物理的な意義を見出したいのですが、いかがでしょうか。

もしや　「平均速さ」　と　「速さの平均」　の違いでしょうか。

なお、小生は高校物理、大学受験物理は理解できる者です。

大変初歩的な疑問であることは重々理解しておりますが、どうかご教示
頂ければと思います。

宜しくお願いします。

回答No.8

heboiboro · ベストアンサー

何で重みづけして平均を出すかということの違いです。

距離Lをまず時速10kmで、次いで時速20kmで走ったとします。
ふつう「平均の速さ」と言われるものは、これに時間で重みづけして平均を出します。
すなわち、 (10*(L/10)+20*(L/20))/(L/10+L/20) = 40/3 となります。

一方で、質問者さんが出した平均は、距離で重みづけして平均しています。
いまはどちらも等距離Lを走っていますので、これは単に (10+20)/2 = 15 となります。

時間で重みづけして平均するということは、たとえば走っている人の主観で全体の速度の中間くらいの値を意味していると、大雑把には考えることができます。
また実用的にはこちらの方が大事なので、こちらが「平均の速さ」の定義になっています。

距離で重みづけして出した方の平均は、こちらは意味づけが難しいですね。特殊な状況で使えなくはないかもしれませんが、走っている人の主観的な中間の速度とは異なるので、やや不自然に感じられてしまう気がします。

結局、時間で重みづけした方が普通使われるというのは、実用的な問題と、そちらの方が主観に合うという感覚的な問題だと思います。

ちなみに、少し問題を変えて、まず時間Tのあいだ時速10kmで走って、次に同じ時間Tのあいだ時速20kmで走ったとします。
このとき、素直に出した平均も、定義通りに出した「平均の速度」も、同じ15kmになります。
一方で距離で重みづけして平均を出すと、 (10*(10T)+20*(20T))/(10T+20T) = 50/3 ≒ 17 となります。
この場合に平均の速度を15kmとするのは自然な感覚だと思いますが、それを時間で重みづけした平均と捉えれば、元の問題でも時間で重みづけした平均をとる方が自然な気がしてくると思います。

お礼

お礼が遅くなりまして申し訳御座いませんでした。
回答いただき本当にありがとう御座います。

勉強になりました。

回答No.5

tadys

平均には「算術平均」「調和平均」「幾何平均」の３種類が有ります。

a、b二つの数の場合、及び a、b、c三つの数の場合では
算術平均： (a+b)/2 、 (a+b+c)/3
調和平均： 2/(1/a+1/b) 、 3/(1/a+1/b+1/c)
幾何平均：(a*b)^1/2、 (a*b*c)^1/3

速度の平均は調和平均で出す必要が有ります。
これは往復の距離を往復にかかった時間で割るのが速度の平均としてふさわしいからです。
速度の単位に１／時間が含まれている事と関係が有ります。

調和平均で計算する例としては並列にした抵抗の場合が有ります。
10Ωと20Ωを並列にした場合の抵抗値は1/（1/10+1/20）=6.67ですが、同じ値の抵抗２本で置き換えるとそれぞれの値は13.3Ωになります。

極端な例で考えると分かるかもしれません。
例えば、復路の速度がゼロの場合、往復での速度もゼロです。
この時答えがゼロになるのは調和平均と幾何平均です。（ただし1/0→∞、1/∞→0とする）
また復路の速度が無限大（復路の時間がゼロ）の時に答えが正しいのは調和平均だけです。

１５という数字に物理的な意味はありません。
それは１kグラムと１メートルの平均を求めるような事です。

回答No.4

fjnobu

Ａｎｏ１です。
速さの平均ということは、片道ずつのの平均ですね。
往復の平均の速さを求めているのだから、片道ずつの平均を出してもあくまで片道ずつです。
全体の平均を出せというのが、題意だからその答えを出さないと、得点にはならないですね。
大学の入試なら、特異の答えを出させることもあり、それが高得点にもなることが有るでしょう。

回答No.3

Struggler

評価軸の違いです。
距離、時間、速さの３つがあり、
あなたが言われる15は距離であった場合で、かつ距離しか評価しない場合の考え方です。
距離が１０キロと２０キロなら平均は１５キロということです。
ここには時間も速さもありません。

今回いわれている時速は、速さを評価軸とした考え方です。
速さは距離と時間の関係に依存しますので、
仮に今回の問題でＬを20キロとして考えれば、行きは２時間かかり、帰りは1時間かかりますので合計3時間です。
距離はＬの2倍の４０キロになり、その距離を3時間かけるのですから、その速さは時速１３．３キロとなるかと。
仮に時速１５キロの場合、４５キロ進んでしまうことになります。

回答No.2

山田 太郎（@testman199）

算数の世界だと思うけど。

10km/hで走る時間の方が長いため、全体に占める割合が大きい。
(当たり前でいいよね？)
だから10km/hに偏る

回答No.1

fjnobu

15Kmは単に、数値の平均を出したものです。
平均の速さは、あくまでも走行距離を走行時間で除したものです。
平均速さとか速さの平均という言葉の問題ではありません。

お礼

ありがとう御座います。
いやはや、全くその通りなのですが、どうでしょう。
何かがしっくり来ないのです。確かに、単に数値の平均と言われればその通りなのですが、
何かもどかしいのです。15km/hに何か物理的な意味は見出せないでしょうか。

ちなみに、「速さの平均」ならば、15km/hになるのではないかと思います。
揚げ足をとっているわけではないのですが。

「平均速さを求めなさい」the average speed
と
「速さの平均を求めなさい」the average of the speeds

は厳密には異なるのではないでしょうか。