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無大気密度一様な理想液体の球形星
の中心からｒの距離の圧力Ｐは 他の星の重力の影響がなく 万有引力定数がＧであり 星の半径がＲ（＞ｒ）であり 理想液体の密度がρであるとき Ｐ ＝∫（ｒ＜ｘ＜Ｒ）・Ｇ・４・π・ｘ＾２・ｄｘ・ρ・４／３・π・ｒ＾３・ρ／ｘ＾２／（４・π・ｒ＾２） ＝４／３・π・Ｇ・ρ＾２・ｒ・（Ｒ－ｒ） でしょうか？ これだと 星の中心の圧力は０であり 最も圧力の高いのはｒ＝Ｒ／２の点であり π・Ｇ・ρ＾２・Ｒ＾２／３になるのですが・・・ （２，３日前の計算では Ｐ ＝∫（ｒ＜ｘ＜Ｒ）・Ｇ・４・π・ｘ＾２・ｄｘ・ρ・４／３・π・ｘ＾３・ρ／ｘ＾２／（４・π・ｒ＾２） ＝π・Ｇ・ρ＾２・（Ｒ＾４－ｒ＾４）／ｒ＾２／３ としていたので星の中心の圧力は∞だと思っていた。）
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趣旨が伝わっていない可能性があるので補足します。 微少円錐台の側面からの圧力についてですが、 円錐の軸方向（半径方向）の合力についてはより高次の微少量として無視できません。 ANo.#11で 「ｄS・ｄｒまたはｄS・ｄｐのオーダーより小さくなることを確認しなければ意味がないと気づきチェックしてみたら、 ｄS・ｄｒのオーダーでした。」 と述べましたが、これは側面の圧力の合力の軸方向成分は考慮に入れる必要があると言うことです。 ANo.#8で「２・ｐ／ｒなんていう補正項は出てこないようです。」という考えが出されましたが、その後、チェックを進めてみたら正にこの項を打ち消すのが側面からの圧力の合力成分であることを確認しました。 念のため、この合力成分を書き出しておくと、 この力をｆ４として ｆ４＝２π・（ｒ／Ｒ・ｄａ）・ｄｒ・ｐ・ｄθ ここでｄＳ＝πｄａ・ｄａ ｄθ＝ｓｉｎ（ｄθ）＝ｄａ／Ｒ となります。 従って、たびたび誤りを犯していますが、参考ＵＲＬにある方程式は近似ではなく厳密な式です。 また、ANo.#9は正しいと思います。 改めて考え直してみると、力の釣り合いを考えるにどのような形状のものを持ってきても微少でありさえすれば良いわけです。この中から一番簡単に微分方程式が導けるのが最良の形状と言うことになります。従って私の提示したような円錐台である必要はなく、球の軸から伸びた直線と角度を合わせた直方体を検査面として選び、対称性を利用したものが最良となります。参考ＵＲＬにある方程式はこのように導かれたものだと思います。簡単な話を不必要に難しく考えてしまったようです。
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機械的に微分方程式を解くってのはだめなんでしょうか? >（４・π・ｘ＾２・ｄｘ×ρ）が >ｘ～ｘ＋ｄｘの質量だから >Ｇ×Ｍｒ×（４・π・ｘ＾２・ｄｘ×ρ）／ｒ＾２ >をｒ～Ｒで積分してｒの面積４・π・ｒ＾２で割ればいいような気がします。 の式の意味を解釈してみましたが、 ｒの面積４・π・ｒ＾２というのは、実は積分の中に はいっていないといけないようです。
補足
ありがとうござます。 機械的に微分方程式を解くってのはだめなんでしょうか? ： 微分方程式の導出過程がわかりません。 教えてください。 下にも書きましたが Ｇ×Ｍｒ×（４・π・ｘ＾２・ｄｘ×ρ）／ｒ＾２ は Ｇ×Ｍｒ×（４・π・ｘ＾２・ｄｘ×ρ）／ｘ＾２ の書き間違いで質問の式はこの点では間違っていません。 ４・π・ｒ＾２を４・π・ｘ＾２にするというのは 圧力を足し合わせるということで意味のない足し算ではないでしょうか？ すべての力の総和を問題にしている場所の面積４・π・ｒ＾２でわるというのではだめなのでしょうか？
間違えました。 dp/dr=-G Mr ρ /r^2 dMr/dr=4πr^2 ρ ρ=一定 Mrはr以下の星の質量で、 Mr=4/3*π*r^3 ρ 代入して dp/dr=-G 4/3*π*r ρ^2 まではいいと思いますが、 これを、r=Rでp=0とするような境界条件の下で 一階の微分方程式として解いた方がよいと思います。
お礼
書き間違えました。 Ｍｒとその外側のｘ～ｘ＋ｄｘの質量による引力の和 つまりｘ～ｘ＋ｄｘをＭｒが引っ張る力はｒ～ｘを押しつぶす力になるからそれをｒ～Ｒの範囲で積分すればいいような気がします。 そうだとすると（４・π・ｘ＾２・ｄｘ×ρ）が ｘ～ｘ＋ｄｘの質量だから Ｇ×Ｍｒ×（４・π・ｘ＾２・ｄｘ×ρ）／ｘ＾２ をｒ～Ｒで積分してｒの面積４・π・ｒ＾２で割ればいいような気がします。 それを計算した結果が質問に提示してある値なのですが。 です。
補足
ありがとうございます。 Ｍｒとその外側のｘ～ｘ＋ｄｘの質量による引力の和 つまりｘ～ｘ＋ｄｘをＭｒが引っ張る力はｒ～ｘを押しつぶす力になるからそれをｒ～Ｒの範囲で積分すればいいような気がします。 そうだとすると（４・π・ｘ＾２・ｄｘ×ρ）が ｘ～ｘ＋ｄｘの質量だから Ｇ×Ｍｒ×（４・π・ｘ＾２・ｄｘ×ρ）／ｒ＾２ をｒ～Ｒで積分してｒの面積４・π・ｒ＾２で割ればいいような気がします。 それを計算した結果が質問に提示してある値なのですが。
積分範囲がｒ＜ｘ＜Ｒなのはなぜですか? 常識的に言って0＜ｘ＜rだと思いますが。
補足
ありがとうございます。 積分範囲が０～ｒとするとｒ＝Ｒとすると Ｐ＝４・π・Ｇ・ρ＾２・Ｒ＾２／３ となり星の表面で圧力が０でなくなります。
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お礼
ありがとうございます。 まさかと思ってｆ０の軸方向外側の全成分を計算すると ２・Ｓ・（ｒ／Ｒ）＾２・ｄｘ／ｘ・ｐ ＝２・ｐ・ｘ・Ｓ・ｄｘ／Ｒ＾２ になることを確認しました。 これにより x^2・dp/dx=-4/3・π・G・ρ^2・x^3 すなわち ｄｐ／ｄｘ＝－４／３・π・Ｇ・ρ＾２・ｘ 両辺をｘについてｒからＲまで積分して ０－ｐ（ｒ）＝－２／３・π・Ｇ・ρ＾２・（Ｒ＾２－ｒ＾２） すなわち ｐ（ｒ）＝２／３・π・Ｇ・ρ＾２・（Ｒ＾２－ｒ＾２） になることを確認しました。 塵も積もれば山となるの格言どおりですね。 いやはや「微小」については細心の注意が必要だということを学ばせていただきました。 水玉の中心の圧力が∞というのはどうしても引っかかっていたのですっきりしました。