2つの面接触について

質問

3点（P1, P2, P3）によって閉ざされた面（トライアングルの形） plane1
P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2), P3(x3, y3, z3)

3点（P4, P5, P6）から閉ざされた面（トライアングルの形） plane2
P4(x4, y4, z4), P5(x5, y5, z5), P6(x6, y6, z6)

2つの面は無限遠に広がりを持つものでないです。
なので平行でなくても必ずどこかで交わっているわけではありません。

（P1～P6の座標は既知です。
またplane1とplane2はほぼ平行ですが平行ではありません。
添付した図の座標値は適当になってます。)

plane1とplane2は接していないのですが、plane1をY方向にいくつずらしたときに
この2面が接する（点接触する）のか求めたいです。
まずは3点から面の方程式を求めるのでしょうが、そこからつまずいています。
（大きさのある面ってどうすんだろ・・・）

恐縮ですがやさしくご教授ください。

回答No.1

nag0720

３点(P1,P2,P3)を通る平面の方程式はベクトルで考えたほうが分かりやすいでしょう。

平面の法線ベクトルをQとすると、平面上の任意の点Pに対し、
Q・(P-P1)＝0 （・は内積）
が成り立ちます。
つまり、P=(x,y,z)、Q=(u,v,w)とすれば、
u(x-x1)+v(y-y1)+w(z-z1)=0

平面の法線ベクトルは外積を使って求められます。
Q=(P2-P1)×(P3-P1) （×は外積）
つまり、
u=(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)
v=(y2-y1)(z3-z1)-(y3-y1)(z2-z1)
w=(z2-z1)(x3-x1)-(z3-z1)(x2-x1)

plane1をずらしたとき、２面が接するには次の３通りのパターンがあります。
(1) plane1の頂点がplane2に接する
(2) plane2の頂点がplane1に接する
(3) plane1の辺とplane2の辺が接する
それぞれの距離を求めて、最小のものを見つければいいでしょう。