こんにちは
逆質問ですが、平成22年分の住民税は、質問者さんが直接払込みをしたのでしょうか?
払っていない場合には、平成22年分の住民税は未納となっています。早々にその市区町村の税金担当部署(市民税課など)に平成21年分の給与所得の源泉徴収票と印鑑を持って自主的に申告したほうがよいでしょう。さもなくば、いずれ督促状が届いてしまいます。
次に平成23年分の住民税ですが、まずは、現在の勤め先に、給料からの住民税天引きがあるかをどうかを確認してください。
もし、住民税の天引きがされているのであれば、平成23年分の住民税については、質問者さんの住所地の市区町村から会社に天引き通知がきて、6月から天引きされますので心配いりません。
逆に、住民税天引きをしていないのであれば、現在の勤め先が年末調整後に給与支払報告書という書類を質問者さんの住所地の市区町村に送っているのかどうかを確認してください。送っていれば、6月ごろにその市区町村から質問者さんに住民税の納付書が届きますので大丈夫です。
住民税の天引き制度がなく、かつ給与支払報告書の送付もない場合には、「所得税の確定申告」または「住民税の申告書の提出」のどちらかが必要となります。
どちらもやっていないようでしたら、平成23年分の住民税が未納となるおそれがありますので、早々にその市区町村の税金担当部署(市民税課など)に平成22年分の給与所得の源泉徴収票と印鑑を持って自主的に申告したほうがよいでしょう。