[圏論]共変かつ反変なら像は対象のみよりなる？

質問

圏論を学んでいるのですが、読んでいる本に
「一般に、共変かつ反変である関手はその像が対象のみよりなる」
と書いてあったのですが本当ですか？

その像が対象のみよりなるとは、その像を圏と見たときに要素がすべて対象となっているということだと思います。

本当ならば証明を、嘘ならば反例を教えてください。

回答No.1

ur2c · ベストアンサー

「その像が対象のみよりなる」とは「C を圏、F を共変かつ反変な関手としたとき、F(C) の射は identity arrows のみからなる」という意味では？

お礼

自己解決しました。

C={f,A}(f≠A)ff=fA=Af=f,AA=A,id:C->Cとするとidは共変かつ反変でCの対象はAのみなので反例になりますね。

補足

はい。確かにその解釈なら真ですね。しかし対象のこの本における定義は全ての要素fについてfAが定義されていればfA=f,Afが定義されていればAf=fが成り立つような元であることを要請しているので、やはり間違いですね。