確率 この世界の終わり 現在地を求めて下さい

質問

昔、ネット上で見つけたのだと思うのですが、ほとんど記憶していない確率のお話についてです。
それを読んだ時は強烈に面白いと思いましたがその面白かったこと以外ほとんど分からなくなってしまいました。何年もあきらめていたのですが、一度、この場で質問してみようと思いました。お願いします。

この世界がいつか終わるとすると、現在は、世界の始まりから終わりまでの線分上のどの地点にいるかというものだったと思います。違うかもしれません。
そんな様な感じの話だったと思うのですが、ご存知の方、創造できる方いらっしゃいませんか。

その問題文と解説を知りたいのです。

回答No.3

Segenswind · ベストアンサー

再びNo.1です。
お礼と補足ありがとうございました。

>補足質問ですが、予想確率とは何なのか、どう扱うものなのかが分かりません。

>50％から95％、99％まで、どのように使い分けるのですか。この確率が何を意味しているのかがわかっておりません。これでは私には使えない法則です。
>またその確率ごとの存続期間の計算方法は、一般的な方程式を立てるのではなく、図式的に（割合を見ながら）考えるものなのでしょうか。どう思いますか。

例えば、今（あるいは過去の一時点でも構いません）人気のあるアーティストを10人ランダムに選び、ゴットの法則で60％確かな存続期間d（t/3≦d≦3t）を求めます。
このとき、10人の60％、つまり6人くらいについてはこの予測が的中するだろう、というのが「確実性」の意味です。
そして確実性を求めるほど結果の範囲が広くなるので、どちらを採るか、その場の目的に応じて選択することになるわけです。

例）民主党が政権を取ってから、約18か月です。この時95％の確実性で民主党政権の存続期間を予測すると、18÷39≒0.46、18×39＝702 なので、約半月から58年半ということになります。確かに半月で消えはしないでしょうし半世紀以上もつこともそうそうないでしょうが、これでは範囲が広すぎてほとんど意味がないように思えます。
そこで60％で計算し直して（18÷4＝4.5、18×4＝72）４か月半から６年という予測を導くこともできます。このぐらいまで絞り込めれば、そこそこ有用な結論といっていいでしょう。ただしこの結果は確実性を多少犠牲にしているので、そこは注意が必要です。

計算は図式的に行っても構いませんが、以下のように一般式が立てられるので、これで求めた方が楽でしょう。

経過期間tのものについて、確実性p（0＜p＜1）で残り存続期間dを求めたいとき、
　　t/k ≦ d ≦ kt　　ただし k = (1+p)/(1-p)
となります（No.1の説明を一般化してまとめたものです）。
ここから、
　・p=0.5のとき、k = (1+0.5)/(1-0.5) = 1.5/0.5 = 3
　・p=0.6のとき、k = (1+0.6)/(1-0.6) = 1.6/0.4 = 4
　・p=0.95のとき、k = (1+0.95)/(1-0.95) = 1.95/0.05 = 39
　・p=0.99のとき、k = (1+0.99)/(1-0.99) = 1.99/0.01 = 199
を求めることもできます。

>本では「60％という確実性は、計算の容易さを考えれば相当に高いと言える」とありますが、意味をなしていないように思えます。なぜ60％を採用したのかが不明です。

この記述は本の通りだと思います。
例えば「さいころ３個を振るとき、当たる確率が60％以上＆最も狭い範囲で合計の出目を予測する」というごく簡単な問題でも、実際に計算すれば１、２分から数分は時間がかかります（正解は８～13、または７～12、９～14でも可）。
もっと複雑な計算なら、数時間あるいは数日かかることもあるでしょう。
対してこちらは、１つの数字を４で割り（半分の半分）、４を掛ける（倍の倍）だけで答えが出るのですから、かかっても数秒にしかなりません。コストパフォーマンスが極めて良いと言えます。
確かに60％である必然性は特にないのですが、実例を示すに当たって、五分五分よりマシで結果の範囲も広すぎず、かつ計算も簡単なので、この水準を選んだだけだと思います。

No.2で示した方のリンクにある「観測をめぐって特別なことは何もないことを前提とすると、存続期間の中央95％の間に対象を見ている可能性は95％」ですが、まず文の後半部分は、「95％（範囲）」の中にいるのは「95％（確率）」という意味で、別段おかしなことではありません。
言ってみれば、１～100までの番号くじを１枚引くとき「95以下の番号、つまり全体の95％のくじを引く可能性は95％」というのと構造的には同じです。

そして前半分「観測をめぐって特別なことは何もない」というのが重要で、ゴットの法則を人の余命に適用できない理由はここにあります。
例えば今30歳の人について、この人の「今」が全寿命の最初の20％中に当たることはほぼ確実にありえません。
150歳（30÷0.2）以上生きた人は、神話や伝説以外に存在しないからです。
つまり「今」が、寿命全体の中央60％（あるいは50％、95％等々）に位置する確率を正しく定められないので、ゴットの法則による予測も不可能ということになるわけです。

月旅行云々については、正直この文章からだけではよく分かりません。
参考文献の雑誌を見てみれば分かるのかも知れませんが……。

お礼

たくさん回答して頂き、大変お世話になりました。勉強になりました。ありがとうございました。
補足質問に関しては自分なりに考えた上で、また本質問させて頂くかもしれません。
さまざま方面で、是非、その才能をお役立て下さい。本当にすごいと思いました。
今後ともよろしくお願いします。
重ねて、ありがとうございました。

回答No.2

Segenswind

No.1です。
補足ありがとうございました。

ゴットの法則を知ったのは、単にこの『Mind パフォーマンス Hacks』という本を２、３年ほど前に読んだのがきっかけです。
これを読めば脳の働きを効率化できる……という触れ込みでしたが、効果のほどは今もって分かりません。
ただ、様々な記憶術、アイディアを生み出すいろいろな手法、計算を早く確実にする方法、年月日から曜日を即座に割り出す方法、各種の決断を迅速かつ適切に下すための基準など掲載されており、少なくとも読み物として面白かったのは間違いありません。
図書館や書店でも時々見かけるので、もし興味があれば一読をお奨めします。

ゴットの法則については、質問文を読んですぐに想起されました。
そのとき確認のため検索したところあまりヒットしませんでしたので、少なくとも日本ではそれほどメジャーとは言えないようです。あるいは別の名前で知られているのかも知れません。

こちらは割と分かりやすいページです。「存続期間の予測」で検索しました。
http://www.rd.mmtr.or.jp/~bunryu/yosoku.htm

その他、もし分かりづらいところ等ありましたらどうぞ。

お礼

No.1さん。いつも回答ありがとうございます。

大変勉強になっております。
ご紹介いただいた本に関しては、私に特別なことがない限り、一、二週間のうちには、手に入れて読むつもりです。補足質問に関しては、別にまとめて回答させようなどと思っておりません。そういう意味で小分けにしたのです。質問者として一般向けに引き続き質問に補足をしたまでです。よかったらちまちま埋めてやってください。ありがとうございます。
No.1さんはその本を読んで脳力を鍛えなくても十分すぐれていると思いますが日頃から勉強家なのですね。お世辞じゃなくて、見習いたいです。単に勉強ができる頭の良さもありますが、それももちろんですが、No.1さんの場合はさらに多方面に亘って頭のいい人です。暗記や計算という勉強だけの人なら、他人の探している物を発見したりする曲芸はできませんからね。本を読まなくていいんじゃないかと思いますよ（笑）その多才を活かしてこれからも人の役に立って下さい。ごゆるりと。

言うまでもない事ですが、特定の人に質問を指定するものではありませんので、わかる方に答えて頂ければ幸いです。ちまちまと回答をお待ちしております。

回答に感謝して。Vielen Dank.

補足

No.3(No.1さん)を読んだ後に書いています。
No.1さんありがとうございます。

(補足質問2の1)
一般式 k=(1+p)/(1-p)はどのように導いたのですか。

リンクを見た時点で一般式には挑んだのですが、数学の苦手な人は、数学の一般化が苦手です。
ご提示された答えを知る前は五里霧中でしたが、答えを知ってからは、回答者には見当もつかないであろう、質問者である自分の解き方の不良箇所が分かってきました。機械的にきっちりと場合わけして考えていかない習性が混乱の元でした。

(補足質問2の2)
No.1さんは一般式を求めないで解かれたのですよね。

同じ様に一般式を立てないで解いても、演算手順がまるで違うのだろうことに気づきました。文字化しないと同じ様に正解しても中身が全然に違うのでしょうね。喜んではいけませんね。

(補足質問2の2)
私がリンク先の文献に難があると言ったのは、日本語的な不備、あいまいさについてです。商品である本や顕示的なホームページには難があって、No.1さんの文章の方がきっちりしているのです。
「確実性」や「％」を修飾なく、暗黙了解的に使いまわすのは、数学の記述的にも、少なくとも他者、とりわけ一般人に提示する文章として宜しくないと思います。

例えば、「確実性を求めるほど」という時の「確実性」についてですが、
割合（例「％」）をもって設定した範囲に、現在地点が含まれているかを指す「確実性（A）」の「％」が、その変数で推定された計算結果の「存続期間」の「確実性（B）」に連結するのですよね。

私としては、そこら辺を指摘したかったのです。
果たして、（確実性A）＝（確実性B）なのか、です。論理的にはいいのかもしれませんが、非数学的思考からずれる人、私には、それらが連結しないことが理解を妨げる原因なのです（笑）その説得のための説明がほしいところです。

(補足質問2の3)
「観測をめぐって特別なことがない」…（甲）を一般向けの文中に書けば、「ごく一般的な自然な状態」を指すと思うのですが。それで、
人間が150歳まで生きる、その許容こそ、「観測をめぐる特別なことがある」場合だと解釈してしまうが、違うのですよね。
また『人間が150まで生きる』という命題を指して、『特別なこと』と言っているわけではないですよね？むしろ150まで生きた方が法則には好都合なんですから。
（甲）を逐語訳するとどうなりますか？

人間の寿命、普通に観測すれば150歳まで生きることはありえない。150歳を推定の後端におく存続期間、その「存続期間の信憑性」はない（←0％と書くべきではない）。
「観測と推測を照らし合わせて問題のない時」、ゴットの法則によって、存続期間の確実性を議論できるのですよね。彼らの言う中身はそれですか。

人間を観測して得られる寿命をゴットの法則で「推測」しようとするのは、法則の適用として、一般的ではない、特別な利用法だ。そんな感じじゃないですか。

(補足質問2の4)
「観測をめぐって特別なことがない限り」よりも、残念ながら「特別な推測にだけ適用できる」にすべきではないでしょうか。適応が何かは見当つかないですけど。ありますか？

日本で一般的にならないのはそこら辺なのかも知れませんよ。

(補足質問2の5)
こう考えてくると、ゴットの法則は、「確実性」とか「観測をめぐって」とか、統計学的な薄化粧をしていて、『それは単なる理屈だよ』の見栄えがいいだけでは。それだけに『確実性』という言葉が一人歩きしているのではと気がかりです。面白いですけど……。念の為、私は同法則を叩くつもりはないですよ。

No.1さんは 30/0.2 = 150 …(1)をしてみせましたが、これは、ゴットの法則ではないですよね。

ゴットの法則だと 30×4 = 120 で、30歳の人が残り120年生きる。ただし『確実性』は60『％』…(ゴ)。

(1)と(ゴ)の違いは何なのでしょう。現在地点を全体の20％と見るか、『ゴット』の『法則』により『確実性60％』で求めるか。冷静に見てゴットの法則の正体はなんなんですかね。
初めて知ったあの時の驚きは……。

(補足質問2の6)
ベルリンの壁崩壊の予測的中は、都合よく確実性を与えた、もしくは偶然なのではないでしょうか。「壁崩壊」こそが「観測めぐって特別なこと」に思うのですが（笑）あいまいな「特別」って都合よくないですか。

(補足質問2の7)
No.3の「サイコロ」の例えは、例の模式図を確率的に描きなおしてくれたのですよ。自作ですか。「正解」の候補を挙げられていますが、出目で範囲を表現してくれたのですよね。そういう解釈ですか。いい例えですが質問者のレベルが……。

よろしくお願いします。

回答No.1

Segenswind

ゴットの法則の話でしょうか？

『Mind パフォーマンス Hacks』
http://books.google.co.jp/books?id=yY1cjEAZp04C&pg=PA208&dq=%E3%82%B4%E3%83%83%E3%83%88%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87&hl=ja&ei=XCh0TaWpJobevQO9xYW-AQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CC4Q6AEwAA#v=onepage&q=%E3%82%B4%E3%83%83%E3%83%88%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87&f=false

簡単に言えば、ある「物・事」がこれまでに存在した時間をtとした時、その物・事に残された存続時間は、
　・50％の確率で、t/3 ～ 3t の間に
　・60％の確率で、t/4 ～ 4t の間に
　・95％の確率で、t/39 ～ 39t の間に
収まる、という法則です。
もっとも、例えば人の一生のように、事実上の上限が分かっているものについては、あまり有効とはいえません。
本当にいつまで続くか分からないものについては、簡便かつそれなりに説得力のある結果を与えてくれます。

例えば、ある物の存続期間がすでに確定しているとして、その期間が100年だとします。
これを「最初の25年（Ａ）」「真ん中の50年（Ｂ）」「最後の25年（Ｃ）」に分けます。
この場合、「現在」が（Ｂ）の中にある確率は、50年÷100年で、50％です。
ですので、確実度を50％とした時に、考えられる残りの存続時間は、
・「現在」が（Ｂ）の末端にある時、つまり75年経過した時の残り25年が最短
・「現在」が（Ｂ）の端緒にある時、つまり25年経過した時の残り75年が最長
となり、それぞれ t/3、3t として表せます。
同様に、60％、95％の場合も計算でき、さらに例えば確実度99％の場合も t/199 ～ 199t と求められます。

ここで問題に戻り、問題の世界を宇宙と考えると、現在、宇宙の年齢は約137億年と推定されているそうですので、余命は
　・50％の確率で、46億 ～ 411億年
　・60％の確率で、34億 ～ 548億年
　・95％の確率で、3.5億 ～ 5443億年
　・99％の確率で、6900万 ～ 2.7兆年
ということになります。

このような話では、どうでしょうか？

お礼

No.2の回答を読んだ上で、そちらのお礼スペースを温存する形で、ここに逐次的なお礼と質問をしたいと思います。No.2で紹介して頂いたページです！私が依然に読んだものは。少なくと内容は同じだと思います。ベルリンの壁でした（笑）す、すごい。なんで当てられるのですか。
確かに教えていただいたキーワード「存続期間の予測」で検索するとトップでした。それが私が読んだもの。す、すごい。なんでそういう適切なキーワードが出せるのでしょうか。才能と言われると立つ瀬がありませんが、やはり経験を積んだのですか。ご自分ではどのようにキーワードを導き出すか、パターンがあるのですか。わたしはなんざ、質問文の題名にあるようなキーワードでしたから、永遠に周回して的に当らない訳です。

補足質問ですが、予想確率とは何なのか、どう扱うものなのかが分かりません。
No.1のリンク先では、60％を用いて。ブリトニーの音楽の寿命を予測しています。このリンク先が紹介された本の内容なのですか。Googleブックスというのも始めて知りました。これは誰でも内容が見れるものなんですか。IEのcookieを有効にしないと見れないのですかね。本の内容を見る限り、回答者さんの解説の方が正確な感じがします。本では「60％という確実性は、計算の容易さを考えれば相当に高いと言える」とありますが、意味をなしていないように思えます。なぜ60％を採用したのかが不明です。
No.2のリンク先は、「特別なことがないことは何もないことを前提にすると、存続期間の中央95％の間に対象を見ている可能性が95％」とあり、95％という文字が重複しているのも論理的にあやしい印象を覚えますし、結局何のことやら分かりません。さらに「（3）有人宇宙計画の寿命」のくだりでは、60年代に月に行かなければ、行けなかったであろうとありますが、この見解は、ゴットの法則から導き出されたのでしょうか。どう思われますか。
50％から95％、99％まで、どのように使い分けるのですか。この確率が何を意味しているのかがわかっておりません。これでは私には使えない法則です。
またその確率ごとの存続期間の計算方法は、一般的な方程式を立てるのではなく、図式的に（割合を見ながら）考えるものなのでしょうか。どう思いますか。

他の皆さんも意見があればどうぞお願いします。
No.1さんありがとうございます。

補足

お早うに、ありがとうございます。間違いありません。ただ私の側の問題として、感動した当時の脳ミソとは違っているようで、しばらく解説文のしょっ端に行き詰ってしまい、レスが遅れました。全部理解できるか不安ですが読み進めさせて頂きます。今は、とり急ぎお礼ということです。お礼やポイントをつけると終了してしまうので、その仕組みは独立させて欲しいところですが、よく読んで自分なりに熟成してから改めてお礼申し上げます。

あなたは頭のいい人でこのようなサイトのベテランのようですが、
このゴットの法則というものをご存知だったのでしょうか？知られたきっかけなんだったんでしょう。比較的知られた法則なんでしょうかね。他の皆さんはどうなんでしょう。
ご提示していただいたサイトも確認しました。今から再度、熟読するつもりですが、こういうサイトを見つけるコツなどありましたら教えてください。たとえばキーワードはなんだったんでしょうか。私は質問者側は有能な回答者との検索能力の差を埋める努力ぐらいは毎度しないといけないと思っています。

しかし自分が数年間わからないことを、本人が記憶にすらしていないことを、反応時間のタイムラグも含めて、一時間で正解できる人がいるんですね。今回はそっちに驚いています。昔から周りの人に頭はいいと言われてたのでしょうか。感心しております。ありがとうございました。