ベクトルの問題
AD//BC、BC=2ADである四角形ABCDがある。点P,Qが
↑PA+2↑PB+3↑PC=↑QA+↑QC+↑QD=↑0
を満たすとき、
(1)ABとPQが平行であることを示せ。
(2)3点P,Q,Dが一直線上にあることを示せ。
(1)
AD//BC,BC=2ADから
↑BC=2↑AD=2↑AD
↑AC-↑AB=2↑AD
↑AC=↑AB+2↑AD・・・(1)
さらに↑PA+2↑PB+3↑PC=↑0から、
(↑AA-↑AP)+2(↑AB-↑AP)+3(↑AC-↑AP)=↑0
6↑AP=2↑AB+3↑AC
(1)を代入すると
6↑AP=2↑AB+3(↑AB+2↑AD)
=5↑AB+6↑AD
↑AP=(5/6)↑AB+↑AD・・・(2)
また、↑QA+↑QC+↑QD=↑0から
(↑AA-↑AQ)+(↑AC-↑AQ)+(↑AD-↑AQ)=↑0
3↑AQ=↑AC+↑AD
(1)を代入すると、
3↑AQ=(↑AB+2↑AD)+↑AD
=↑AB+3↑AD
↑AQ=(1/3)↑AB+↑AD・・・(3)
ここで、↑PQ=↑AQ-↑AP を
計算すると(2)、(3)より、
↑PQ={(1/3)↑AB+↑AD}-{(5/6)↑AB+↑AD}
=(-1/2)↑AB・・・(4)
∴ ↑PQ=(-1/2)↑AB
よって、ABとPQが平行である。
(2)3点P,Q,Dが一直線上にあることを示せ。
↑PD=↑AD-↑AP
(2)を代入して、
↑PD=↑AD-{(5/6)↑AB+↑AD}
=(-5/6) ↑AB
=(5/3)↑PQ
よって、3点P,Q,Dは一直線上にある
こうやると教えてもらったんですけど、合っていますか？
こういうタイプの問題はとりあえず基準点を定めて位置ベクトルに直せばいいんですか？
それとも他にいいやり方があるんですかね？(x_x;)
