電子顕微鏡においての分解能の導出

質問

回折収差：d1=1/2Csα^3、球面収差：d2=0.61λ/α
このときd=√(d1^2＋d2^2)がの分解能が最小の値になる時は、αが0.92(λ/Cs)^1/4の時でd=0.77Cs^1/4λ^3/4になるのですが、その過程を教えてください。
宜しくお願いします。

回答No.1

noname#185706 · ベストアンサー

d と d^2 は増減を共にするので、d^2 について調べます。
d^2 = d1^2 + d2^2
　　= (1/4) Cs^2 α^6 + 0.61^2 λ^2 / α^2。

これが極値をとる条件は
(d/dα)d^2 = (3/2) Cs^2 α^5 - 2・0.61^2 λ^2 / α^3
　　　　　　= 0。
これから
α^8 = 2・0.61^2 λ^2 (2/3) / Cs^2、
α = 0.916 (λ / Cs)^(1/4)。

これを d の式に代入すると、
d = [(1/4) Cs^2 0.916^6 (λ / Cs)^(3/2) + 0.61^2 λ^2 0.916^(-2) (λ / Cs)^(-1/2)]^(1/2)
　= [0.148 + 0.443]^(1/2) Cs^(1/4) λ^(3/4)
　= 0.769 Cs^(1/4) λ^(3/4)。

この極値が最小値であることは、その点で (d/dα)(d/dα)d^2 > 0 が成り立つことからわかります。ご自分で確認してください。

お礼

非常に助かりました。
ありがとうございました。