平行四辺形の回転体の体積

質問

以下の平行四辺形OPCDの回転体（ｙ軸のまわりに一回転してできる立体の体積）の面積はどのように求めればいいのでしょうか？？
みにくくて、もうしわけありません…

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回答No.3

KEIS050162 · ベストアンサー

まず、この図形（四角形OPCD）が並行四辺形なのかどうかで計算の簡単さが変わって来ますので、与えられた条件から、図形OPCDがどの様な性質の図形になるかを把握しましょう。また、CPはｙ軸に並行ということでよろしいですね？（そうでないと計算が面倒）

並行四辺形であるならば、DO＝CPとならなければなりません。そうでなければ単なる四角形として進めます。（並行四辺形であって単に四角形として扱ってもかまいません。計算が少しだけ面倒臭くなるだけです）
それぞれの座標は、与えられた放物線の二次式と直線の一次式から求めます。
二次式、一次式それぞれ条件として与えられていなければ、それぞれが通過する座標から、それぞれの式を導き出します。

次にこの図形を回転させて出来た円錐と円柱を組み合わせた図形を頭に描き、いくつかの簡単な図形に分解し、その展開図を描きます。

この図形の場合は、OPを母線とする円錐と、CPを母線とする円柱からDCを母線とする円錐をくり抜いた形になります。（もし四角形OPDCが並行四辺形なら、OPを母線とする円錐とDCを母線とする円錐は同じになるので、計算が楽になるということです。）

円柱の面積を計算するのに必要な、半径はP（もしくはC）の座標のｘ座標となります。母線CPはｙ座標の差ですから、これから面積が計算できます。

二つの扇形のその半径と、角度は、下記二つを求めれば計算出来ます。
・扇形の母線の二つの座標から、三平方の定理を用いて母線の長さ、即ち扇形の半径を求める。
・扇形の孤と、それに接する円柱の円周の比から角度を求める。

後は、円柱の面積と二つの扇形の面積を足すだけです。

ご参考に。

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。

点Pや点Dの高さで横に切ったりすることで、
回転体は円筒や円すいに分解できるかと。

円筒でも円すいでも底面積は同じになるので、
そのあたりをうまくまとめれば計算はそんなに大変にはならないと思います。

回答No.1

nattocurry

CPとx軸の交点がよく見えないので、Qということにしましす。

側面の面積は、円周×高さ＝２π×OQ×CP、でいいですよね。

上面の面積は、半径DCの円の面積×（半径OQの円周÷半径DCの円周）＝半径DCの円の面積×（OQ÷DC）＝π×DC×DC×（OQ÷DC）＝π×DC×OQでもとめられます。

下面の面積も、上面の面積と同様です。

あとは足すだけ。