sin１度

質問

とある参考書に
-4x^3+3x=sin3度を、逐次近似を使って数値的に解くことで、６０進数表示での解、
sin1度=1,2,49,43,11,14,44,16,19,16・・・を与えています　と書いてあるのですがなぜそうなるんでしょうか？

回答No.2

noname#185706

＃１への「補足」について

・第一段落の「？」に対して
はい。

・第二段落の「？」に対して
sin(1°) = 1/60 + 2/60^2 + 49/60^3 +・・・
を導く方法は私にはわかりません。その本に書いてあるのではありませんか？何の断りもなく60進法が使われるわけがありません。
sin(1°) = 1, 2, 49, ・・・
はその本での表記法なのでしょう。

・第三段落の「？」に対して
sin(x) = x - x^3/3! +・・・
はテイラー級数ですが、そこでは x はラジアン単位になりますから、1°を　1°×πラジアン/180° = π/180 ラジアン としています。テイラー級数への展開については
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%B1%95%E9%96%8B
でも見てください。

回答No.1

noname#185706

sin(3a)
= sin(a+2a)
= sin(a)cos(2a)+cos(a)sin(2a)
= sin(a){1-2sin^2(a)}+cos(a)・2sin(a)cos(a)
= sin(a)-2sin^3(a)+2sin(a){1-sin^2(a)}
= sin(a)-2sin^3(a)+2sin(a)-2sin^3(a)
= -4sin^3(a)+3sin(a) 。
ここで
x = sin(a) 、
a = 1°
とおくと、
-4x^3+3x = sin(3°)
です。よって、sin(3°)の値がわかっておれば、
x=sin(1°)
の値を求めることができます。sin(3°)の値をどのように得たかについては、質問文からはわかりません。

なお、

>sin1度=1,2,49,43,11,14,44,16,19,16・・・

は
sin(1°) = 1/60 + 2/60^2 + 49/60^3 + 43/60^4 +・・・
のことでしょう。

補足

回答ありがとうございます。
つまり、sin(3a)=sin(a+2a)を解くことで参考書にのっていたような式に変形でき、sin1゜の値がsin3゜の値さえ分かれば解けるということなんですかね？

sin1゜=1/60+2/60^2+49/60^3+43/60^4+・・・はどうして出てきて、
なぜ60進法であらわすと
sin1゜=1,2,49,43,11,14,44,16,19,16・・・になるんでしょう？

あと、やはりsinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-・・・を用いると、
sin1゜=sin(Pi/180)=sin(0.0174532925・・・)
sin1゜=0.0174532925199-0.0000008860962+0.000000000013496
　=0.0174524064373
と3項で得られると書いてあるのですがどういうことなんですかね？