群論について

質問

Gを群，M,NをGの正規部分群とする．このとき，
写像f：M×N→MN/(M∩N)を
f(m,n)=mn(M∩N) （m∈M，n∈N）
で定めるとき，Kerf=(M∩N)×(M∩N)であることを示せ．

という問題について教えてください．

Kerf⊃(M∩N)×(M∩N)については示せたのですが，逆の包含関係，Kerf⊂(M∩N)×(M∩N)の途中で行き詰ってしまいました．

(m,n)∈Kerf
⇒f(m,n)=mn(M∩N)=M∩N
⇒mn∈M∩N

までは分かるのですが，ここから「m,n∈M∩N」への持って行き方がわかりませんでした．

よろしくお願いします．

回答No.1

noname#149523 · ベストアンサー

mn∈M∩N
mn∈Mかつmn∈N
n∈m^(-1)M=M
n∈M∩N
同様にm∈M∩N