2000年 京都大学 第一問 (長いです)
【問題】
図1のように、水平面と角度θをなす斜面をもった質量Ｍの台車が、水平な床面に敷設された直線のレール上を摩擦なしに滑らかに動けるように置かれている。
いま、時刻 t=0 に、台車の斜面の下端点Oから質量 m の小球が、斜面に沿って、大きさ v0 の初速度で動き出した。
このとき、台車の初速度はゼロで、小球の初速度の方向は斜面の下端線OO'から測った斜面内の仰角が α であった。
ここで、下端線OO'は床面に平衡でレールと垂直である。また、斜面は滑らかで、小球と斜面の間に摩擦はないとして、小球が動き出した後の小球および台車の運動を議論しよう。
ただし、斜面は十分に広く、小球は再び斜面の下端線OO'に戻ってくるまでは斜面から飛び出さず、また、台車の車輪は４つともレールから離れることはないと仮定する。
床面に固定された水平面内の直交座標のＸ，Ｙ軸、および台車に固定した斜面上の直交座標の x , y 軸をそれぞれ、図１に示したようにとる。ただし、Ｙ軸はレールに、Ｘ軸は x 軸に、それぞれ平行で、 x , y 軸の原点は下端点Ｏであり、 y 軸は斜面の最大傾斜の方向を向いている。また、重力加速度を g とする。
(１)
小球が斜面上を運動している間、台車は、床面から見てＹ方向に速度Ｖ、加速度Ａで運動している。台車から見た小球の速度の x , y 成分を vx ,vy 、加速度を ax , ay と記す。
まず、床面から見れば、小球の速度のＹ成分は、Ｖ、 vy 、θで表して[ イ ]となるから、小球と台車からなる系のＹ軸方向の運動量保存則は、[ ロ ]と書ける。
この保存則を表す式の時間変化率を考えれば、速度の時間変化率が加速度であることから、台車の加速度Ａと小球の加速との y 成分 ay との間に
Ａ＝[ ハ ]× ay
の比例関係が成り立っていることがわかる。
[解答]
[ イ ] Ｖ＋vycosθ
[ ロ ] mv0sinα・cosθ＝m(Ｖ＋vycoｓθ)＋ＭＶ
[ ハ ] －(mcosθ)/(Ｍ＋m)
この問題の[ ハ ]がよく分かりません…
解説には
＞ロの式の時間変化率を考え、Ｖ、vy の時間変化率がＡ 、 ay であることを用いると
０＝m(Ａ＋aycosθ)＋ＭＡ
と書かれていました
どなたか私に易しく教えて下さい、よろしくお願いします。
お礼
そうですよね。 すいませんでした。 ありがとうございます。