投資の返済方法

質問

投資の返済方法

某テキストに次の『 』内のような練習問題があります。
『A社では資本コストの年利率を、1年目12%、2年目12%、3年目は6%と見込んでいる。この利率を前提とした場合に、借り入れた資金を返済するとき、最も現在価値が小さい返済方法は次の(a)～(e)のうちどれか。ただし、1期は1年であるとする。
(a) 1期目末500万円、2期目末500万円、3期目末500万円返済
(b) 1期目末500万円、2期目末550万円、3期目末450万円返済
(c) 1期目末400万円、2期目末700万円、3期目末400万円返済
(d) 1期目末350万円、2期目末750万円、3期目末400万円返済
(e) 1期目末600万円、2期目末300万円、3期目末600万円返済』

この問題の意味がよく分かりません。

(1)
このような問題の場合、次の(ア)、(イ)のいずれの意味でしょうか。
(ア)1期目の初めにいくらかの借入をして、それを3期かけて完済する。
(イ)1期目の初めにいくらかの借入をしてそれを1期目の末に完済し、2期目の初めにいくらかの借入をしてそれを2期目の末に完済し、3期目の初めにいくらかの借入をしてそれを3期目の末に完済する。

(2)
(a)～(e)のどれも返済総額が1,500万円なのですが、このように返済総額が定額であることはどのような意味がある（問題の作成者は何を意図している）のでしょうか。

(3)
問題文に言う「最も現在価値が小さい返済方法」の「現在価値」は問題文に言う「借り入れた資金」と同額であると思いますが、そのような理解で正しいでしょうか。

(4)
(3)の御回答がyesであれば「最も現在価値が小さい返済方法」は「最も借入額が小さい返済方法」と同じ意味であることになりますが、「最も現在価値が小さい返済方法」つまり「最も借入額が小さい返済方法」を求めることはどのような意味があるのでしょうか。

借入額が小さければ返済に当たってのリスクも小さくそれがメリットであるので「最も借入額が小さい返済方法」を求めれば「最も返済に当たってのリスクが小さい返済方法」を求めることができること（つまり、返済のリスクを小さくすることができること）は分かります。ただ、それ以上の意味がないように思えます。

しかし、(a)～(e)とも3期での返済総額が1,500万円と固定であることから推測すると、「返済総額が1,500万円と固定である場合に「最も借入額が大きくなる返済方法」」（つまり、「返済総額が1,500万円と固定である場合に「最たくさん借ることができる返済方法」」）を求めるのがこの問題の目ざしているところではないかと思います。もしそうであれば、かつ(3)の御回答がyesであれば、「最も現在価値が小さい返済方法」ではなくて「最も現在価値が大きい返済方法」を求めるべきだと思います。

「最も現在価値が小さい返済方法」つまり「最も借入額が小さい返済方法」を求めることはどのような意味があるのでしょうか。

回答No.2

aokisika · ベストアンサー

＞しかし、「3年間で総額1,500万円を返済すればよいとすると」という仮定が、現実の社会では実際には起こりえない仮定であるように思います。どのような場合に「3年間で総額1,500万円を返済すればよい」という状況が起きるのでしょうか。

その通りです。こんな返済方法で貸すような状況は現実にはありません。

これは練習問題です。この問題の意図は、返済総額が同じであっても、その現在価値が異なる、つまり有利な返済方法とそうでない返済方法があるということを理解することにあります。

現在価値というモノを理解させ、その計算に慣れさせることがこの練習問題の意図なので、このようなありえない返済方法での「計算練習」をさせているのです。

お礼

再度の御回答ありがとうございます。

やっぱりそうなんですね。いちばん最初は、なぜこのような問題があるのか不思議でした。不思議を通り越して、この問題は一体何をさせたいのかとずいぶん考えました。

でも、そうだと言っていただいて、やっと納得できました。自分だけではあれこれ考えてもそうだという結論を飲み込めなくて、まさかそんなことはないだろうと思い悩んでいました。
でも、それならそれで、もっと分かりやすい問題の設定の仕方もありますよね。本当に。

でも、やっとスッキリしました。疑問が氷解しました。
有り難うございました。

回答No.1

aokisika

これは投資の採算性の計算です。
まず「現在価値」の意味をしっかりと理解しましょう。

誰かが質問者さんに「１００万円あげます。」と言ったらうれしいですよね。
では、今日１００万円もらうのと、１年後に１００万円もらうのとではどちらがうれしいですか？
１年後より、今すぐもらった方がうれしいですよね。つまり、１年後の１００万円と今日現在の１００万円とでは「価値」が違うのです。この「時間による価値の差」を「時間価値」と呼びます。ではこの時間価値は具体的にいくらでしょう？つまり、１年後の１００万円と今日現在の１００万円とでは「価値」の差が何円あるのでしょうか？
差がないのだったら、今日もらっても１年後にもらっても価値は同じですから、今日もらった方がうれしいはずがない、ということになります。

今日１００万円もらうのと、１年後に２００万円もらうのとでは、当然１年後の２００万円の方がうれしいですよね。では１年後にもらうのが１１０万円ではどうですか？１０５万円では？１０３万円？１０１万円は？

今仮に、今日１００万円もらうのと、１年後に１０３万円もらうのとでうれしさが同じであったとしたら、今日現在の１００万円と１年後の１０３万円は同じ価値だ、ということになります。このとき、

「１年後の１０３万円の現在価値は１００万円である。」と言います。

とは言うものの、感覚的な「うれしさの度合い」なんてものは人によってみんな違います。もっと合理的な方法、多くの人が納得できるような現在価値を定義したいのです。そこでこんなことを考えます。

今日１００万円もらったとします。これを銀行に預けました。１年後に利息が付いて１０３万円になりました。（こんなに利息が付いたのはいつのことだろう？）
銀行に預けておけば１年後に１０３万円になるわけですから、１年後に１００万円もらったら、３万円分損だ、ということになります。１０３万円もらったらとんとんですから、１年後に１０３万円と今日現在の１００万円が同じ価値だ、ということになります。つまり、
「１年後の１０３万円の現在価値は１００万円である。」
ということになります。
では１年後の１００万円の現在価値はいくらでしょう？
３％の利息が付いて１００万円になるわけですから、

現在価値＝１００万円÷（１＋３％）
＝１００万円÷1.03＝９７.０９万円

となります。となり、１年後の１００万円の現在価値は９７万９００円だ、ということになります。この計算は３％の利息が付くと仮定して、１.０３で割りました。これを、「３％で割り引く」と言います。

「利息が３％である、という仮定のもとに、１００万円を３％で割り引いて、現在価値を計算した」
のです。

さて、練習問題です。
２０１０年１０月１日に１？００万円借り入れ、総額で１５００万円を返済するときの返済方法です。

選択肢（a）
＜１期目＞
２０１１年９月３０日に５００万円返済する予定です。
年利率１年目が１２％ですから１２％で５００万円を割り引きます。
１期目の返済額の現在価値＝５００÷１.１２＝４４６.４３（万円）
＜２期目＞
２０１２年９月３０日に５００万円返済する予定です。
年利率は１年目も２年目も１２％ですから
２期目の返済額の現在価値＝５００÷１.１２÷１.１２＝３９８.６０（万円）
＜３期目＞
２０１３年９月３０日に５００万円返済する予定です。
３期目の利率は６％なので、
３期目の返済額の現在価値＝５００÷１.１２÷１.１２÷１.０６＝３７６.０４（万円）

＜３年間で返済した金額の現在価値の総和＞は

４４６.４３＋３９８.６０＋３７６.０４＝１２２１.０７（万円）
となります。
これは返してもらう方の側から見ると、
３年間にわたって５００万円ずつ返してもらうのは、今日現在１２２１.０７（万円）を一度にもらうのと同じうれしさだ、
ということです。

他の選択肢も同様に計算し、現在価値の総和が最小になるのはどの選択肢になるのか答えなさい。
という問題です。

返してもらう方から見てうれしい、ということは、払う側はうれしくないということです。返してもらう方側のうれしさが最小、ということは払う側にとってのうれしくない度合いが最小ということです。

現在価値の総和が最小ということは、払う方からすると最も有利な返済方法、ということです。a～e の中で、最も有利な返済方法はどれか、が問われているのです。

補足

早速の御回答有り難うございます。

前半の現在価値と割り引きの御説明の部分はよく分かりました。たいへん詳しく御説明いただきありがとうございます。

後半の練習問題の部分ですが、お教えの方法により(b)～(e)の「3年間で返済した金額の現在価値の総和」を求めました。(a)～(e)を並べて書くと次のようです。
(a)1221.06万円
(b)1223.32万円
(c)1216.01万円
(d)1211.22万円
(e)1226.11万円

問題文の指示は「最も現在価値が小さい返済方法は次の(a)～(e)のうちどれか。」ですから、答は(d)になります。
これも分かりました。

また、例えば
(a)は「3年間にわたって毎年末に500万円ずつ返してもらうのは、今日現在1221.06万円を一度にもらうのと同じうれしさだ」ということである。
(b)～(e)も同様。

ここまではよく分かりました。
あと少しお教えください。

「a～e の中で、最も有利な返済方法はどれか」と仰せですが、これは当然の前提としてというか何も言わなくてもというか、「3年間で総額1,500万円を支払えばよいとすると、a～e の中で、最も有利な返済方法はどれか」という意味である、ということでしょうか。

もし「a～e の中で、最も有利な返済方法はどれか」が「3年間で総額1,500万円を返済すればよいとすると、a～e の中で、最も有利な返済方法はどれか」という意味であるならば、(d)が最も有利な返済方法であるというのはよく分かります。

しかし、「3年間で総額1,500万円を返済すればよいとすると」という仮定が、現実の社会では実際には起こりえない仮定であるように思います。どのような場合に「3年間で総額1,500万円を返済すればよい」という状況が起きるのでしょうか。

貸した側は当然ですが「年利10%の複利」のような一定の金利つまり確実に儲けることができる金利を指定しますから、その金利にぴったり見合う元利合計を返済しなければなりません。つまり、「3年間で総額1,500万円を返済すればよい＝各年にいくら払うかは借りた側の好きなようにしたらいい」というような返済方法を許す貸し手つまり銀行はないと思います。

もしそれを許せば、借りた側は当然3年目の末に1,500万円まとめて支払います。そうすれば、借りた資金を丸々3年間自由に使って儲けることができるからです。このケースを(f)とすると、この場合の現在価値は次のようになります。
(f)1128.10
しかし、このような支払い方をされると貸した側は大損なので、「3年間で総額1,500万円を返済すればよい」という指定は貸した側はしないと思います。

もしそのような銀行があるのであればこの問題のような検討をする意味がありますが、そのような銀行がない以上この問題のような検討をする意味がないと思います。

どのような場合に「3年間で総額1,500万円を返済すればよい」という状況が起きるのでしょうか。

補足です。
自分的には、上記の質問は、今回の質問の最初の投稿で書いた(2)と(4)を一緒にした内容であると思っています。(2)と(4)も御参照いただけるとうれしいです。