X人の集団の最高点が分かっている時ある得点の出現率を調べる方法

質問

X人の集団の最高点が分かっている時ある得点の出現率を調べる方法

300人の集団の最高点が72点、最低点が16点（平均点を44点とする）のテストで、
98.6点をとれるのは何人にただ1人だけですか。
（全員が最大限の能力を発揮し、点数の分布は正規分布に従っているとします）

また、偏差値98が何人中ただ1人かを計算するには
http://staff.aist.go.jp/t.ihara/normsdist.html
上のページを参考にどのように計算すればいいでしょうか。

回答No.3

kzkz_tool · ベストアンサー

こんにちは

p=0.5と言う条件ではPr(X>=260)はほぼ0になります。
Pr(X>=260)=0.001が正しいとすると、p=0.5のような均質な集団ではないと言うことになりますので、モデル化を変える必要がありますね。
どうも遠回りでスミマセン。

Pr(X>=260)=0.001という条件をつければ正規分布での取り扱いも可能になります。
正規分布を特定するには平均とSDを導く必要があります。
平均をとりあえず(100+300)/2=200として、
これとPr(X>=260)=0.001という条件からSDを計算します。
偏差値のURLからα/2=0.001となるようなZは3.09です。
これから、
(260-200)/SD=3.09⇔SD=19.42
と求まります。
後は同じように
Pr(X>=c)=Pr{(X-200)/19.42>=(c-200)/19.42}
=Pr{Z>=(c-200)/19.42}
とやれば求まります。
たとえば、c=280のとき、URLより、Pr(Z>=4.11)=1.98E-05
となります。

このモデルの妥当性については、研究者の感覚に合うかによりますが。。

お礼

自分なりに、平均160、Pr(X>=260)=0.003、SD=36.36として
60点以下が1/335、280点以上が1/2000、300点～が1/17,000、355点～が1/2400万
を得ることができました。
このたびはありがとうございました。

回答No.2

kzkz_tool

なるほど。
では、ちょっとモデルが違うかもしれませんね。
二項分布でモデル化するといいかもしれません。

p=0.5(100～300回ですので、大体半分とした)の確率で成功するような事象を
n=360回繰り返した。このとき、成功回数X>=355となるような確率は？
となります。

この確率は
Pr(X>=355)=?_(i=355→360) 360Ci p^i q^(n-i)=2.1161*10^(-98)
となり、意図的な交配も何もしていない条件のもとでは10の－98乗となり、
とてつもなく低い確率となります。ちなみに成功確率pをもっと小さくすると
さらに確率は下がり、大きくすると大きくなります。ただ、成功確率を
300/360=0.833としても、確率は4.6114e-022となり、やはり小さいことには
代わりありません。
ただ、このモデルはp=0.5という集団、すなわち意図的な交配がない集団で
このようなことが起こる確率です。意図的な交配は偶然でないため、
この数値でそのまま評価することはできません。

蛇足ですが、npおよびnp(1-p)が十分に大きければ、Xは平均np=180、分散np(1-p)=90
の正規分布に近似的に従うので、
Pr(X>=355)=Pr((X-180)/√90>=18.97)≒0となります。
ご質問のURLでz=18.97でのα/2はあまりに小さすぎるために存在しません。

お礼

ありがとうございます。
二項分布で成功回数X>=260（100回以下の失敗）とした場合はどうなるでしょうか。
（Wolfram_Alphaにチャレンジしましたが計算できませんでした）
一般のラット数百匹のうち、このようなラットが1匹はいるので、
モデル化が正しければX>=260の場合、0.1%以上の確率になると思います

回答No.1

kzkz_tool

これは何かの問題集の問題でしょうか？
この問題は不完全で一意の答えを持っていないと思います。
正規分布を一意に特定するためには平均と分散の二つのパラメータが必要ですが、
レンジと平均とサンプルサイズだけでは分散を有効に推定することは不可能です。
大体このくらいかな～とあたりをつけることはできますが。。

ちなみに、老婆心ながら98.6点と偏差値98は違うものです。
偏差値は平均50、ＳＤ10に基準化したときの値です。
偏差値98だと平均＋4.8ＳＤなので、Z=4.8のときの上記HPの値7.94E-07
を使い、偏差値98以上(ここ大事)となる割合は1/7.94E-07=約126万人に一人です。
ちなみに、連続データでは偏差値がちょうど98になる確率は0になります。
その辺は密度という概念を修めてもらう必要があります

ただし、点数と偏差値は別物なので、上記の問題の答えにはなりません。

お礼

ご回答ありがとうございます。

これは問題集の問題ではありません。
このニュースが元です。
http://www.asahi.com/science/update/0727/TKY201007270578.html
求めたいのは正解率98.6%(355/360)を出すラットが自然に出現する確率です。
大体でいいので分かりませんか？

下の問題は別件です。単純にどう計算するか知りたかっただけです。
紛らわしくてすみません。